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hylpy

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[求助] 求極限(參與應助,可獲論壇活動抽獎券一張) 已有1人參與

計算下列極限:
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\left ( \frac{1}{i\left ( n+\frac{1}{3} \right )} \right )^{1+\epsilon },i=\sqrt{-1}.$

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申請回稿延期一個月，編輯同意了。但系統上的時間沒變，給編輯又寫郵件了，沒回復已經有4人回復

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1樓 2016-11-15 21:40:58

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alober

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【答案】應助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應助指數 +1
hylpy: 金幣+20, ★★★很有幫助, 先付20幣致謝。 2016-11-16 17:24:37
hylpy: 金幣+30, ★★★★★最佳答案, 非常有啟發(fā),感謝,金幣全給你 2016-11-16 18:45:42

$I(x)=\frac{1}{i^{1+x}}(\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x}+\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x})=\frac{1}{i^{1+x}}(\zeta(1+x,\frac{1}{3})+\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{-1-n+\frac{1}{3}})^{1+x})=\frac{1}{i^{1+x}}(\zeta(1+x,\frac{1}{3})+(-1)^{1+x}\zeta(1+x,\frac{2}{3}))$
$\lim_{x \to 0}iI(x)=\lim_{x \to 1}\zeta(x,\frac{1}{3})+(-1)^x\zeta(x,\frac{2}{3})=\lim_{x \to 1}(\frac{1}{x-1}-\psi(\frac{1}{3}))+(-1)^x(\frac{1}{x-1}-\psi(\frac{2}{3}))=\lim_{x \to 1}(\frac{1}{x-1}-\psi(\frac{1}{3})+((-1-i\pi(x-1)+o((x-1)^2))\cdot\frac{1}{x-1}+\psi(\frac{2}{3})))=\psi(1-\frac{1}{3})-\psi(\frac{1}{3})-i\pi=(-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{-1/3}}{1-x}dx)-(-\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3\ln3}{2}-\gamma)-i\pi=(-\gamma+\frac{\sqrt{3}\pi}{6}-\frac{3\ln3}{2})-(-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}-\frac{3\ln3}{2}-\gamma)-i\pi=(\frac{1}{\sqrt{3}}-i)\pi$
因此 $\lim_{x \to 0}I(x)=\frac{(\frac{1}{\sqrt{3}}-i)\pi}{i}=(-1-\frac{i}{\sqrt{3}})\pi$

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2樓2016-11-16 15:31:25

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2樓: Originally posted by alober at 2016-11-16 15:31:25
I(x)=\frac{1}{i^{1+x}}(\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x}+\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x})=\frac{1}{i^{1+x}}(\zeta(1+x,\frac{1}{3})+\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{- ...

未及細讀，先給你20幣，等細讀后再加幣。

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3樓2016-11-16 17:23:31

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3樓: Originally posted by hylpy at 2016-11-16 17:23:31
未及細讀，先給你20幣，等細讀后再加幣。...

$\epsilon=0$

[list=2]
如果直接取0，結果似乎是， $\left[-\dfrac{1}{3} \left(i \sqrt{3} \pi \right)\right]$

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4樓2016-11-16 21:40:19

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4樓: Originally posted by Mr__Right at 2016-11-16 21:40:19
取極限似乎沒有什么意義，直接 \epsilon=0 有何不同？

如果直接取0，結果似乎是，\left
...

這個結果是錯的

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5樓2016-11-16 22:12:32

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5樓: Originally posted by hylpy at 2016-11-16 22:12:32
這個結果是錯的...

是指取極限不能直接 epsilon =0?

還是其它？

這個結果可是經過WolframAlpha 認證的：
https://www.wolframalpha.com/inp ... 2F(I+(k+%2B+1%2F3)),+%7Bk,+-n,+n%7D%5D,+n+-%3E+Infinity%5D

是不是我哪里看錯了？

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6樓2016-11-16 22:42:22

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