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數(shù)學(xué)詭異新蟲 (小有名氣)
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[交流]
由集合論推導(dǎo)出自然數(shù)集合N中存在無窮大自然數(shù)
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由皮亞諾公理可知，所有的自然數(shù)全都是有限的自然數(shù)，不存在無窮大自然數(shù)（證明略）。 然爾根據(jù)集合論中的相關(guān)理論，卻可以證明自然數(shù)集合N中存在無窮大自然數(shù)，下面寫出證明過程： 全體自然數(shù)的集合為N，N＝{0，1，2，3，4……n……}，從N的所有子集中挑選出來一些特定的子集，要求同時符合下面的兩個條件：（1）：所有的子集中必須有0為元素；（2）：如果該子集中包含多個元素，則所有的元素能以自然數(shù)的順序依次排列。例如：{0}，{0，1}，{0，1，2，3}都符合上述的兩個條件，但{1，2，3，4}不符合條件，因為該集合中沒有0；{0，1，2，5，7，8}也不符合條件，因為所有的元素沒有按自然數(shù)的順序依次排列。 根據(jù)上述的兩個條件，可以挑選出N的所有符合條件的子集，按照從小到大的順序進行排列，分別是： a0＝{0} a1＝{0，1} a2＝{0，1，2} a3＝{0，1，2，3} a4＝{0，1，2，3，4} a5＝{0，1，2，3，4，5} …… an＝{0，1，2，3，4，5……n} …… aN＝{0，1，2，3，4，5……n……} 因為N是N的子集，記為aN，aN也符合上述子集的定義。 我們稱符合上面特征的集合為N的以0為首公差為1的等差數(shù)列子集。 令A(yù)為包含所有N的以0為首公差為1的有限等差數(shù)列子集的集合，即A＝{a0，a1，a2，a3，a4……an……}，A的元素全都是N的有限等差數(shù)列真子集，因為aN是一個無窮集，它是N的子集而不是N的真子集，所以aN不是A中的元素。 對于A中的所有元素，有a0⊂a1⊂a2⊂a3⊂……⊂an⊂……，即前一個元素是后一個元素的真子集，并且A中的所有元素全都是N的真子集。 因為A中的所有元素全都是N的真子集，也就是說：只有無限集N才包含所有的自然數(shù)，而A中的任何一個元素都是有限集，所以A中的任何一個元素都不包含所有的自然數(shù)。 由真子集的定義可知，一定存在一個自然數(shù)g，g屬于N，但g不屬于A中的任何一個元素。 下面證明g的存在性： （1）：因為A中的所有元素全都是N的真子集，所以N與A中任何一個元素的差都不是空集，即N－ak≠∅。否則，如果有N－ak＝∅，則有ak=N，說明ak不是N的真子集。 (2):如果有A⊂B，則g= A∪B－A，例如：A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4}，則g＝A∪B－A＝{1，2，3}∪{1，2，3，4}－{1，2，3}＝4，即4屬于B而不屬于A 并且，如果A⊂B，則g=A∪B－A必然不是空集，否則，如果g是空集，則必有A＝B，說明A不是B的真子集。 （3）：因為A中的所有元素全都是N的真子集，所以g=（a0∪a1∪a2∪a3∪……∪an……∪N）-a0－a1-a2-a3……－an……，設(shè)（a0∪a1∪a2∪a3∪……∪an……∪N）＝Y(jié)，則有Y＝N，由（1）可知，N與A中任何一個元素的差都不是空集，所以g不是空集。否則，如果Y與A中的某一個元素ak的差是空集（即g是ak中的元素），則根據(jù)（2），必有ak=N，說明ak不是N的真子集，這與A中的所有元素全都是N的真子集相矛盾。 由以上所述可知，因為g不是一個空集,所以g存在，g屬于N而不屬于A中的任何一個元素，也就是說，A中的任何一個元素中，都沒有g(shù). 因為A中的所有元素全都是有限集合，而g不屬于任何一個有限集，只屬于無限集N，所以g是一個無窮大自然數(shù)。 命題得證：在自然數(shù)集合N中存在無窮大自然數(shù)g,g大于任何一個有限的自然數(shù)。 |
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