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我覺得應(yīng)該不難，可是我不會(huì)。。。思路應(yīng)該是冪級(jí)數(shù)展開

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1樓 2017-06-19 12:52:48

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songbai_hnu

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把和式寫開，然后乘以sin(x/2), 利用三角函數(shù)的積化和差公式，再除以sin(x/2)

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2樓2017-06-19 13:16:52

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alober

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$\sum_{k=1}^{n}\cos(kx) = \Re{\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}} = \Re(e^{ix}\cdot\frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}) = \Re(\frac{e^{inx}-1}{1-e^{-ix}}) = \Re(\frac{(e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}})e^{\frac{ix}{2}}e^{\frac{inx}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}}) = \Re(\frac{2i\sin\frac{nx}{2}}{2i\sin\frac{x}{2}}e^{\frac{ix(n+1)}{2}}) = \frac{\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\cos\frac{(n+1)x}{2}$

最后的三角變換樓主都會(huì)吧。

（本帖中圖片由codecogs生成，如果在手機(jī)上看不到，可以試試用電腦看。如果用電腦仍然看不到圖，可以試試把對(duì)應(yīng)的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10 latex.codecogs.com）

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3樓2017-06-19 13:34:00

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引用回帖:

3樓: Originally posted by alober at 2017-06-19 13:34:00
\sum_{k=1}^{n}\cos(kx) = \Re{\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}} = \Re(e^{ix}\cdot\frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}) = \Re(\frac{e^{inx}-1}{1-e^{-ix}}) = \Re(\frac{(e^{\frac{inx}{2}}-e^{-\frac{inx}{2}})e^{\frac{ix}{2}}e ...

多謝！受教了！

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4樓2017-06-19 16:50:52

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2樓: Originally posted by songbai_hnu at 2017-06-19 13:16:52
把和式寫開，然后乘以sin(x/2), 利用三角函數(shù)的積化和差公式，再除以sin(x/2)

不妨把式子寫出來試試?

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凡事，一笑而過。。。。。。

5樓2017-06-19 16:53:43

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不用復(fù)數(shù)法證明也可以。

      代數(shù)式分子分母同時(shí)乘以 $2\sin \frac{x}{2}$ ,

并利用 $2\sin \frac{x}{2}\cos {kx}=\sin (kx+\frac{x}{2})-\sin (kx-\frac{x}{2})$ .有:

$\sum_{k=1}^{n}\cos {kx}=\frac{\sum_{k=1}^{n}2\cos {kx}\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sum_{k=1}^{n}\left(\sin (kx+\frac{x}{2})-\sin (kx-\frac{x}{2})\right )}{\sin \frac{x}{2}}$


         $=\frac{\sin \frac{2n+1}{2}x-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$

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凡事，一笑而過。。。。。。

6樓2017-06-20 09:12:08

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