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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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大蔥1890

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[交流] 【求助】有限差分法誤差都是多少啊

用有限差分法計算二階導(dǎo)數(shù)時的誤差是多少啊?比如(d^2 x)/(dt^2 ）假設(shè)t的步長取為h 那么誤差是h的幾次方項？

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1樓 2009-06-06 12:53:25

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mozhui

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這個和具體近似方法有關(guān)吧，比如，對于一階導(dǎo)數(shù)的近似，采用向前和向后差商帶來的截斷誤差都是h的一次方，而采用中心差商帶來的截斷誤差則為h的平方。樓主是如何計算二階導(dǎo)數(shù)的？

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2樓2009-06-06 13:17:09

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大蔥1890

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(d^2 x)/(dt^2 )=(x_(i+1)-2x_i+x_(i-1))/h^2 其中h是時間步長，對于一階的問題我算過了，可以用x_n+1在nh上展開級數(shù)得出，一階向前差分的相當(dāng)于把x_n+1項的h的平方項得省略，可是我用相同方法算不出來二階的，很郁悶！

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3樓2009-06-07 15:52:17

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yzcluster

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如果我印象沒錯誤差應(yīng)該是O(h^{3})。其實很簡單，你把f(x+h)和f(x-h)分別泰勒展開，兩者做和（把步長h當(dāng)作小量），你會發(fā)現(xiàn)所有h的單數(shù)項都被消去了，只剩下2，4，6，。。。等項。自然，誤差就是h^{3}的高階小。

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4樓2009-06-07 16:02:08

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mozhui

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把x(i+1)和x(i-1)都在i處泰勒展開到四次項帶到你的計算公式里可以得到截斷誤差是h^2，有什么問題嗎？

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5樓2009-06-07 16:02:19

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Originally posted by yzcluster at 2009-6-7 16:02:
如果我印象沒錯誤差應(yīng)該是O(h^{3})。其實很簡單，你把f(x+h)和f(x-h)分別泰勒展開，兩者做和（把步長h當(dāng)作小量），你會發(fā)現(xiàn)所有h的單數(shù)項都被消去了，只剩下2，4，6，。。。等項。自然，誤差就是h^{3}的高階小。

我算了一下是這么做，不過好像最后是得出h的四次方的誤差，O(h^{3})代表的是四次方的還是三次的我也不怎么清楚。不過還是謝謝你！

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6樓2009-06-07 16:46:18

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"誤差就是h^{3}的高階小"，自然是指包括4階在內(nèi)以上的誤差，不包括3階項的誤差。

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7樓2009-06-07 16:49:05

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mozhui

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還要除以h^2…

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8樓2009-06-07 16:54:16

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引用回帖:

Originally posted by mozhui at 2009-6-7 16:54:
還要除以h^2…

是的

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9樓2009-06-07 16:56:11

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另外一般情況下約定小寫o{}表示比括號里高階的無窮小，而大寫O{}表示與括號里同階的無窮小~

[ Last edited by mozhui on 2009-6-7 at 17:08 ]

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10樓2009-06-07 16:58:20

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