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[交流] 【求助】求一個三次不等式最小值已有4人參與

如果是平方的話，可以使用柯西不等式計算最小值。這三次方是否也可以使用不等式求最值？
$f(x_{1}...x_{i})=a_{1}x_{1}^{3}+a_{2}x_{2}^{3}+...+a_{n}x_{n}^{3}+\\ \ b_{1}x_{1}^{2}+b_{2}x_{2}^{2}+...+b_{n}x_{n}^{2}+\\ \ c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}+d. \\ st:\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1$
其中假設(shè)
$a_{1}...a_{n},b_{1}...b_{n},c_{1}...c_{n},d$ 為已知的非負數(shù)，
$x_{1}...x_{n}$ 為未知非負數(shù)，求使原式取得最小值的
$x_{1}...x_{n}$ 關(guān)系。

[ Last edited by wueast on 2010-6-28 at 18:35 ]

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1樓 2010-06-28 16:47:22

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saladin983

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javeey(金幣+1):謝謝參與交流 2010-06-29 10:23:37

這個等式約束的最小化問題，數(shù)值解倒是不難。討論解析解的話，可以試試拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)性條件，感覺挺棘手的。

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2樓2010-06-28 20:30:44

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wueast

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Originally posted by saladin983 at 2010-06-28 20:30:44:
這個等式約束的最小化問題，數(shù)值解倒是不難。討論解析解的話，可以試試拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)性條件，感覺挺棘手的。

謝謝您！
也列出了拉格朗日函數(shù)方程，可是方程真是不好解。
如果忽略掉低次方，請問，求下列最小值是否好辦一些？

$f(x_{1}...x_{n})=a_{1}x_{1}^3+a_{2}x_{2}^3+...+a_{n}x_{n}^3\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1$

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3樓2010-06-28 21:31:22

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onesupeng

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拉格朗日乘子法常用

但是你這個三次方，解析解有點不大可能

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4樓2010-06-28 22:12:28

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Originally posted by onesupeng at 2010-06-28 22:12:28:
拉格朗日乘子法常用

但是你這個三次方，解析解有點不大可能

立方是不太好搞，但那不考慮平方與一次方的，想不用拉格朗日，而用柯西不等式求，但沒有搞出來：

$f(x_{1}...x_{n})=a_{1}x_{1}^3+a_{2}x_{2}^3+...+a_{n}x_{n}^3\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1 ,x_{i}\geq 0,a_{i}\geq 0,$

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5樓2010-06-28 22:22:32

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saladin983

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Originally posted by wueast at 2010-06-28 16:22:32:

立方是不太好搞，但那不考慮平方與一次方的，想不用拉格朗日，而用柯西不等式求，但沒有搞出來：

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x_{1}...x_{n})=a_{1}x_{1}^3+a_{2}x_{2}^3&plus ...

不用拉格朗日函數(shù)，你打算怎么處理約束呢？無約束的話，最小值在0點取到。

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6樓2010-06-28 22:32:14

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Originally posted by saladin983 at 2010-06-28 22:32:14:

不用拉格朗日函數(shù)，你打算怎么處理約束呢？無約束的話，最小值在0點取到。

您說的是，就是約束條件不好辦，
哎，看來想法是此路不通了。。。杯具

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7樓2010-06-28 22:41:31

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joyfox

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javeey(金幣+1):謝謝參與交流 2010-06-29 15:12:17

這是個多元凸函數(shù)優(yōu)化的問題，如果是最大值，一定是在邊界取得
對于最小值，可以使用啟發(fā)式優(yōu)化算法尋找極小值點，譬如遺傳算法，模擬退火算法等等

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8樓2010-06-29 13:58:03

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引用回帖:

Originally posted by joyfox at 2010-06-29 13:58:03:
這是個多元凸函數(shù)優(yōu)化的問題，如果是最大值，一定是在邊界取得
對于最小值，可以使用啟發(fā)式優(yōu)化算法尋找極小值點，譬如遺傳算法，模擬退火算法等等

打算是計算出理論最優(yōu)，再設(shè)計啟發(fā)算法，比較啟發(fā)法的近似解與最優(yōu)解的差距。
但是看來最優(yōu)解是不好求，使用拉格朗日方程不好解，且不一定有解。

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9樓2010-06-29 16:49:00

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