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rainbowguy

銀蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

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[交流] 【求助】可測(cè)集的子集一定可測(cè)嗎？

如題，可測(cè)集的子集一定可測(cè)嗎？
如不是，請(qǐng)舉個(gè)反例

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1樓 2011-01-13 11:19:54

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Pchief

鐵桿木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

rainbowguy(金幣+5):大蝦果然思路清晰，佩服佩服！ 2011-01-13 14:46:57

關(guān)于可測(cè)集的子集是否可測(cè)，有如下結(jié)論：

（1）一般而言可測(cè)集的子集不必可測(cè)，簡(jiǎn)單例子有如：底空間為 X = {0,1}，X 上的 σ環(huán) （實(shí)際上是 σ代數(shù)） A={空集，X}， A 上恒等于零的函數(shù)是一個(gè)測(cè)度，在這個(gè)測(cè)度之下，X 的子集{0}就不是可測(cè)集，因?yàn)樗粚儆?A。

（2） Lebesgue 零測(cè)度集的任何子集皆為 Lebesgue 可測(cè)集。（如果一個(gè)測(cè)度下的零測(cè)集，其任何子集均可測(cè)，則稱此測(cè)度為完全測(cè)度。凡是由環(huán) R上測(cè)度延拓而來(lái)的H(R)中滿足卡拉氏條件的集合所成的σ環(huán)上的測(cè)度均為完全測(cè)度，Lebesgue測(cè)度是一個(gè)特例，詳情參閱文[1]114頁(yè)引理2.1.3。）

（3）如果一個(gè)集合的 Lebesgue 外測(cè)度大于零，則它必包含非 Lebesgue 可測(cè)的子集，例子參見(jiàn)文[1]150-153頁(yè)定理2.3.3。

[ Last edited by Pchief on 2011-1-13 at 13:14 ]

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2樓2011-01-13 13:01:41

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Pchief

鐵桿木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

★
小木蟲(chóng)(金幣+0.5):給個(gè)紅包，謝謝回帖交流

真是疏忽大意，忘了給參考文獻(xiàn)的名稱：

[1] 《實(shí)變函數(shù)論》徐森林編著，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社2002年。

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3樓2011-01-13 16:26:21

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rainbowguy

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謝謝大蝦指教

回復(fù)此樓

4樓2011-01-14 11:10:42

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