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whodot銅蟲 (小有名氣)
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[交流]
關(guān)于閉區(qū)間套原理 vs 確界原理 已有6人參與
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看到有的書上，用“閉區(qū)間套原理”證明“確界原理”， 但有的書上，用“確界原理”證明“閉區(qū)間套原理”。 不明白，這兩個原理誰前誰后呢？還是等價的？ 有誰明白，請詳細(xì)介紹下這兩個原理的來龍去脈。謝謝了。 Sample Text |
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3樓2011-06-29 13:22:32
sskkyy
銀蟲 (正式寫手)
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小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖
小雨萌萌(金幣+4): 謝謝咯~ 2011-07-31 10:09:55
小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖
小雨萌萌(金幣+4): 謝謝咯~ 2011-07-31 10:09:55
你好。不知道你所謂的閉區(qū)間套原理和確界原理是不是如下的東西：【區(qū)間套定理】:“設(shè)一無窮閉區(qū)間列{[a(n),b(n)]}適合下面兩個條件 1)后一區(qū)間在前一區(qū)間之內(nèi),既對任一正整數(shù)n,有a(n)<=a(n+1)【確界定理】：“任何數(shù)實數(shù)軸軸上的有界集合都有唯一的上下確界” 如果這是你所說指的定理，那么這兩個定理是等價的。可以如下考慮：證明他們都和【單調(diào)有界定理】任何單調(diào)有界非遞減數(shù)列的數(shù)列都有唯一上確界。 【確界定理】 推 【單調(diào)有界】：設(shè)a(n), n=1,2,.... 是任意的單調(diào)有界非遞減數(shù)列的數(shù)列。取集合{a(n)|n=1,2,.... }，根據(jù)假設(shè)這是一個有界集合。根據(jù)確界定理，存在唯一的一個上界a。根據(jù)上確界的定義，這個a便是數(shù)列跌的上確界。 【單調(diào)有界】 推 【區(qū)間套定理】設(shè)[a(n),b(n)]，n=1,2,.... 如定理中的一系列區(qū)間.根據(jù)這些區(qū)間的定義，a(n)是單調(diào)非遞減數(shù)列，所以有上確界a；b(n)是單調(diào)非遞增數(shù)列，所以有下確界b. 因為區(qū)間長度趨于0，我們有a=b. 這就證明了區(qū)間套定理。 【區(qū)間套定理】 推 【單調(diào)有界】假設(shè)a(n),n=1,2,...是一列單間有界非遞減的數(shù)。首先可以看出a(n+1)-a(n)的極限是0，否則存在一個正整數(shù)e使得對于無窮多項n=n(k), a(n(k))>a(n(k)-1)+e,這與a(n)是有界的矛盾。在知道了這個極限是0后，就可以假設(shè)對于充分大的N, 當(dāng)n>N時, a(n+1)-a(n)<1/2^n。這里1/2^n表示1除以2的n次方。 考慮區(qū)間套[a(n+1)- 1/2^n，a(n+1)+1/2^n]，可以直接檢驗這個區(qū)間套滿足條件，得一點便是數(shù)列的上確界。 【單調(diào)有界】 推 【確界定理】假設(shè)S是一個實數(shù)軸上的有界集。我們需要找出一個數(shù)列（可數(shù)的）使得它的上確界就是這個集合的上確界（下確界可以類似的證明）。主要方法是二分法。固定集合S中的一點x，假設(shè)y是S的一個上界。取[x,y]的中點，如果在大的半邊有S中的元素，繼續(xù)取大的半邊的中點，否則去小的半邊的中點。依此類推，可以得到很多的點。取其中的一個單調(diào)非遞減子列。這個子列的上確界便是集合的上確界。 希望對你有所幫助。 |
2樓2011-06-29 03:19:00
4樓2011-06-30 08:38:52
zOOmAId
木蟲 (正式寫手)
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5樓2011-06-30 11:22:35
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