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[求助]
幾何
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大家都見過家里鋪的瓷磚吧，它們一般都是正方形，整個地面就由這若干個正方形鋪蓋而成。那么，我的問題是： 1）能不能在這塊地面（地面有若干正方形組成）上做出一個等邊三角形，這個等邊三角形的頂點必須是任一瓷磚的頂點？ 2）同上，等邊三角形依次換為等邊五邊形、等邊六邊形、等邊八邊形？ |
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【答案】應(yīng)助回帖
soliton923: 十分感謝專家的回答 2011-09-22 23:34:11
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不妨設(shè)設(shè)正方形邊長為單位1，邊所在方向為別為x,y軸方向 設(shè)三角形一頂點為坐標原點。 設(shè)另兩頂點為A和B。所以A,B的橫坐標和縱坐標都為自然數(shù)，OA、OB的長度都為整數(shù)。 如果設(shè)OA與x軸正向夾角為a,OB與x軸正向夾角為b（此處角度有方向，逆時針設(shè)為正向）,可知：cos a, sin a, cos b, sin b 都是有理數(shù)，且a-b等于pi/3或者-pi/3。 而cos a=cosb*cos(pi/3)-sinb*sin(pi/3)，sin(pi/3)為無理數(shù)，cos(pi/3)為有理數(shù)，如果cos b, sin b 為有理數(shù)且sin b不等于零，則cosa為無理數(shù)，矛盾。 如果sin b=0。上面過程用cos b=cos a*cos(pi/3)-sina*sin(pi/3)，分析可得只有sin a=0時才能使cos b為有理數(shù)。 二sinb=0, sin a=0不可能同時成立（因為A、B同時在x軸，OAB不能構(gòu)成三角形）。 所以，第一題答案是“不能構(gòu)造這樣的等邊三角形” |
2樓2011-09-22 19:34:20
3樓2011-09-22 23:31:32
jfili
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4樓2011-09-23 17:45:50
5樓2011-09-25 23:33:10
jfili
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6樓2011-09-27 07:30:30
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