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哇咔咔，誰能給我講講同構(gòu)環(huán)咩~
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2樓2011-10-23 09:28:49
lizhmath
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yasima2(金幣+10): 將2個(gè)函數(shù)定義了加法減法，后又說可驗(yàn)證這2個(gè)運(yùn)算滿足環(huán)的公理體系，那環(huán)的公理體系是啥啊，你怎么驗(yàn)證的啊？還有，雙射是什么，又比作2個(gè)宇宙，呃，那可不可以比作2個(gè)星球啊，怎么會(huì)有2個(gè)宇宙啊…… 2011-10-23 13:23:03
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代數(shù)結(jié)構(gòu)就是一個(gè)集合有些運(yùn)算，這些運(yùn)算滿足一些公理。 比如環(huán)這種代數(shù)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)運(yùn)算，一個(gè)稱為加法，一個(gè)稱為乘法， 她們滿足一些公理。 比如，實(shí)數(shù)集上所有實(shí)值函數(shù)做成的集合，定義如下的加法合乘法： 任意的函數(shù)f和g，有函數(shù)f+g和fg定義為 (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)。 可以印證這兩個(gè)運(yùn)算滿足環(huán)的公理體系，于是上面的函數(shù)集合在這兩個(gè)運(yùn)算下成為環(huán)。 如果兩個(gè)環(huán)之間有雙射，而且這個(gè)映射還保加法和乘法，那么作為環(huán)，這兩個(gè)環(huán)就是一樣的了。這就稱為環(huán)同構(gòu)。代數(shù)結(jié)構(gòu)的同構(gòu)都是如此：保持代數(shù)結(jié)構(gòu)(即運(yùn)算)的雙射。一個(gè)不是很準(zhǔn)確的類比：兩個(gè)同構(gòu)的環(huán)，可以看成是兩個(gè)平行的宇宙，他們有一樣(同構(gòu)映射就是一面鏡子)的規(guī)則(一樣的加法和乘法)。 |
3樓2011-10-23 10:04:45
lizhmath
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★
soliton923(金幣+3): 謝謝參與討論~~ 2011-10-23 23:37:26
yasima2(金幣+10): ok 2011-10-25 13:50:58
soliton923(金幣+3): 謝謝參與討論~~ 2011-10-23 23:37:26
yasima2(金幣+10): ok 2011-10-25 13:50:58
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環(huán)的公理體系就是加法和乘法要滿足的運(yùn)算律啊，比如加法交換律等等。抽象代數(shù)的書上都有，可以查一下。 對(duì)于函數(shù)環(huán)，加法交換律就是：任意兩個(gè)函數(shù)f和g，成立：f+g=g+f。 比如可以這樣印證：任意的x（定義域中的點(diǎn)）有 (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) 于是作為函數(shù)有 f+g=g+f。 其實(shí)我想印證是平凡的，關(guān)鍵是可以用環(huán)輪中的結(jié)果和想法來處理函數(shù)環(huán)的問題。 雙射指的是既單又滿的映射，即存在雙射的兩個(gè)集合是集合同構(gòu)的，它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)。如果兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)（比如環(huán)）它們之間有保持運(yùn)算的雙射，那么元素之間一一對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)的元素的運(yùn)算結(jié)果也對(duì)應(yīng)。所以從代數(shù)的觀點(diǎn)看，它們就是一樣的。 宇宙是一個(gè)比方啊，可以是其它你喜歡的東西。環(huán)的世界很“簡(jiǎn)單”，就是兩個(gè)運(yùn)算，滿足公理體系，這個(gè)世界就按照這些規(guī)則運(yùn)轉(zhuǎn)。 |
4樓2011-10-23 21:01:17
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