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ultrman01

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[求助] 關(guān)于分子運動能級的一道題

各種不同運動狀態(tài)的能級間隔是不同的，試說明分子的平動、轉(zhuǎn)動和振動能級間隔的大小次序。

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1樓 2011-11-02 12:20:16

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西西很可憐

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zhonggao18(金幣+2): 感謝回帖 2011-11-02 14:24:14
ultrman01(金幣+3): 2011-11-02 22:22:14

分子的運動形式及能級公式
一、分子的運動形式
　　在一個由大量微觀粒子構(gòu)成的宏觀體系中，每個微觀粒子都在不停地運動著。例如氣體，其中的任意一個分子不僅作為整體能在容器中自由運動，通常稱這種運動為外部運動，而且分子的內(nèi)部也在不停地運動著，這種內(nèi)部運動包括分子的轉(zhuǎn)動、振動、電子運動和核運動等。按照這些運動形式隨溫度變化的特征，可將它們分為兩類：一類是分子的平動、轉(zhuǎn)動和振動，這類運動的能量隨溫度的升降而增減，稱為熱運動；另一類是原子內(nèi)的電子運動和核運動，它們在一般溫度范圍內(nèi)的能量不隨溫度升降而改變，稱為非熱運動。但這樣的分類并不是絕對的，有些物質(zhì)如NO，其電子易受熱激發(fā)，以致在通常溫度下電子運動的能量是隨溫度升降而增減的。因此NO的電子運動應(yīng)屬于熱運動。物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)主要取決于分子的熱運動。

　　單原子分子的熱運動只有平動運動，而沒有轉(zhuǎn)動和振動運動；固體中的粒子沒有平動運動，主要是振動、電子和核運動；而液體與固體相比，又增加了轉(zhuǎn)動運動；氣體又比液體增加了平動運動。

　　嚴(yán)格說，分子的各種運動形式是彼此相關(guān)的，特別是轉(zhuǎn)動和振動之間。但為了簡便起見，我們將這些運動近似看作是相互獨立的；于是一個分子的熱運動能∈h可表示為

∈h = ∈t + ∈r + ∈v 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6-10)

式中∈t、∈r、∈v分別表示分子的平動能、轉(zhuǎn)動能和振動能。

　　根據(jù)量子力學(xué)理論，微觀粒子運動的能量都是量子化的，亦即微觀粒子的能量只能取某些特定的數(shù)值，通常稱為能級。任何微觀粒子都具有若干個可能的能級，其中最低的能級稱為基態(tài)，其余的都稱為激發(fā)態(tài)。粒子所處的不同的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。當(dāng)有兩個以上的量子態(tài)具有相同的能量時，相應(yīng)的能級稱為簡并能級，它所包括的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度，用符號g表示。粒子只能吸收或釋放某種固定數(shù)量的能量來改變自己的運動狀態(tài)，相應(yīng)地表現(xiàn)為在不連續(xù)的量子態(tài)或能級間激發(fā)或躍遷，而決不能具有能級之間的任意能量。能級和簡并度均由量子數(shù)來表征，它們之間的關(guān)系可用量子力學(xué)原理導(dǎo)出，在此僅作概要介紹。

　　二、平動能級
　　一個質(zhì)量為m的粒子在邊長為a，b，c的矩形箱中作平動運動，可導(dǎo)出其平動能∈t為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6-11)

式中nx，ny，nz分別為x，y，z軸方向的平動量子數(shù)，它們只能取正整數(shù)值1，2，3，…，nx，ny，nz不同數(shù)值的組合即代表不同的量子態(tài)；h為Plank常數(shù)。如果粒子的運動空間是一個體積為V的立方箱，即a=b=c，則上式變?yōu)?br />
　　　　　　　　　　　　　　　　　(6-12)

此式表明，平動能級是不連續(xù)的，它只能隨平動量子數(shù)的改變作跳躍變化，其間隔決定于平動粒子的質(zhì)量和體系的體積，質(zhì)量和體積越大，間隔越小。當(dāng)nx=ny=nz=1時，對應(yīng)平動的基態(tài)能級，其值為∈t=3h2/(8mV2/3)，基態(tài)能級只包括一種量子態(tài)，所以其簡并度為gt=1，我們稱這個能級是非簡并的；高一能級包括三種不同的量子態(tài)，即(nx,ny,nz)的取值可分別為(2,1,1)、(1,2,1)和(1,1,2)，對應(yīng)的分子平動能級則皆為∈t= 6h2/(8mV2/3)，因此該平動能級的簡并度為gt=3。

　　各能級的能量值是相對的，只有指定了基態(tài)的能量值才能確定其他能級的能值。基態(tài)的能量稱零點能。顯然，若選擇不同的零點能，則所有其他能級的能值將隨之改變。

　　三、轉(zhuǎn)動能級
　　設(shè)雙原子分子的兩原子間距為r，兩原子的質(zhì)量分別為m1和m2，并視其為線型剛性轉(zhuǎn)子，則可導(dǎo)出其轉(zhuǎn)動能為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6-13)

式中J為轉(zhuǎn)動量子數(shù)，其取值只能是正整數(shù)0，1，2，...,I=μr2,I為轉(zhuǎn)動慣量，μ是轉(zhuǎn)動的折合質(zhì)量，μ=m1m2/(m1+m2)。由式（6-13）知，轉(zhuǎn)動能級也是不連續(xù)的，轉(zhuǎn)動慣量愈大，能級間隔愈小。不同的J值對應(yīng)著不同的轉(zhuǎn)動能級。對于每一個了值，由于轉(zhuǎn)動角動量在空間的取向也是量子化的，它在空間可以有(2J+1)個不同的取向方位，代表(2J+1)個不同的轉(zhuǎn)動量子態(tài)，因此轉(zhuǎn)動能級是簡并的，其簡并度gr=2J+1。

　　四、振動能級
　　量子力學(xué)給出的單維簡諧振子的振動能∈v為

∈v = (u + 1/2)hv 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6-14)

式中u為振動量子數(shù)，其值只能取0，1，2，…等整數(shù)，v為簡諧振動的頻率。上式表明，振動能級也是不連續(xù)的，振動頻率愈小；能級間隔愈小。當(dāng)u=0時，∈v = 1/2hv，此為振動能級的零點能。振動能級是非簡并的，即gv=1。

　　五、電子運動能級和核運動能級
　　對于分子中的電子能級，沒有統(tǒng)一的公式，必須根據(jù)各別分子的光譜實驗結(jié)果進(jìn)行具體分析。大多數(shù)分子的電子能級間隔很大，從基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)，△∈e≈400kJ.mol-1，所以除非在很高的溫度，一般情況下電子總是處于基態(tài)。但有少數(shù)分子，即使在常溫下，也有激發(fā)態(tài)電子，如NO分子。

　　原子核的能級間隔更大，因此在一般的物理和化學(xué)過程中，原子核總是處于基態(tài)而沒有變化。量子力學(xué)研究表明，非熱運動也是量子化的。用?表示電子運動能級，∈e表示核運動的能級，它們均可近似當(dāng)作獨立的運動形式。

　　上述討論結(jié)果表，各種運動能級間隔的大小次序為：△∈n＞△∈e＞△∈v＞△∈r＞△∈t。

　　六、分子能級
　　根據(jù)前面的討論，一個分子的能量或能級可以近似地認(rèn)為是各種運動形式的能量的簡單加和：

∈= ∈t + ∈r + ∈v + ∈e + ∈n 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6-15)

分子能級的簡并度g則應(yīng)為各種運動形式能級的簡并度之積，即

別處粘貼來的，簡略就是振動能級間隔最大，轉(zhuǎn)動能級次之，平動能級間隔最小

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I can

2樓2011-11-02 13:39:13