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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)

[交流] 高中冪函數(shù)的延伸,求助

高中數(shù)學(xué)僅僅討論了X^a=b(X>0,a為整數(shù))的情形,現(xiàn)在問題來了:
(-2)^0.2=?
MATLAB給出結(jié)果是0.9293 + 0.6752i
excel結(jié)果是-1.14869835500

多值函數(shù),貌似可以理解,但是:
MATLAB為什么只給出了一個結(jié)果?
(-2)^0.4=?
excel計算不出來了,顯示"#NUM!"
MATLAB給出結(jié)果是0.4078 + 1.2549i

依照高中所學(xué)數(shù)學(xué)知識:
(-2)^0.4=[(-2)^0.2]^2= 1.3195,哪里出錯了,難道是在a為小數(shù)的情況下不適用?
有沒有系統(tǒng)描述冪函數(shù)的資料,請大家推介一下.萬分感謝
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alpha94

金蟲 (小有名氣)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
確實是個高中問題。一般的,  (-2)^0.4表示的是一個實數(shù)，也就是所謂的方根。實際上，(-2)^0.4是(-2)^2的五次方根。如果你用軟件計算的話，一般的要輸入整數(shù)的開方和冪。另外軟件計算的話不同的過程，會有不同的誤差。
不如1/3 *3 =1
但是你要是分步算的話：
1/3=0.33,
0.33*3=0.99
2樓2011-11-14 20:42:02
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
引用回帖:
2樓: Originally posted by alpha94 at 2011-11-14 20:42:02:
確實是個高中問題。一般的,  (-2)^0.4表示的是一個實數(shù)，也就是所謂的方根。實際上，(-2)^0.4是(-2)^2的五次方根。如果你用軟件計算的話，一般的要輸入整數(shù)的開方和冪。另外軟件計算的話不同的過程，會有不同的誤 ...

找你的算法 ,結(jié)果是一個實數(shù),但是MATLAB結(jié)果卻是一個復(fù)數(shù)啊
3樓2011-11-14 21:50:09
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33221100

木蟲 (正式寫手)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
Mathematica： 0.929316 + 0.675188 I
4樓2011-11-14 21:53:13
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33221100

木蟲 (正式寫手)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
Mathematica：
0.9293164906031477 + 0.6751879523998812 I
5樓2011-11-14 21:55:41
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33221100

木蟲 (正式寫手)
Mathematica ：
(-2)^0.4=0.4077503686410061 + 1.254926596843565 I
6樓2011-11-14 21:59:03
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cars

金蟲 (小有名氣)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
當(dāng)指數(shù)取整數(shù)時是高中的知識，為有理數(shù)時應(yīng)該就不是了，為無理數(shù)時就超過一般的大學(xué)內(nèi)容了。
可以百度一下“冪函數(shù)”。
但matlab與之有點小不一樣。對于x^(p/q),p和q互質(zhì)。
,matlab采用(x^(1/q))^p，百度中定義的是(x^p)^(1/q)。
即(-2)^0.4，matlab為[(-2)^(1/5)]^2為復(fù)數(shù)，按百度定義為
[(-2)^2]^(1/5)=1.1487。
對于x^(p/q)定義是一致的。
X^(1/q)的定義是r*exp(j*w/q),[其中r=abs(x),w=angle(x),對于x為實數(shù)的情況，w=0或pi]。
7樓2011-11-15 09:12:13
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839967781

木蟲 (職業(yè)作家)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
實是個高中問題。一般的,  (-2)^0.4表示的是一個實數(shù)，也就是所謂的方根。實際上，(-2)^0.4是(-2)^2的五次方根。如果你用軟件計算的話，一般的要輸入整數(shù)的開方和冪。另外軟件計算的話不同的過程，會有不同的誤差。
不如1/3 *3 =1
但是你要是分步算的話：
1/3=0.33,
0.33*3=0.99
8樓2011-11-15 10:50:42
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★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
引用回帖:
1樓: Originally posted by eastsunsong at 2011-11-14 15:25:39:
高中數(shù)學(xué)僅僅討論了X^a=b(X>0,a為整數(shù))的情形,現(xiàn)在問題來了:
(-2)^0.2=?
MATLAB給出結(jié)果是0.9293 + 0.6752i
excel結(jié)果是-1.14869835500

多值函數(shù),貌似可以理解,但是:
MATLAB為什么只給出了一個結(jié)果?
...

一般的定義是這樣的吧：

A^b=exp(b*ln(A))

對于A是復(fù)數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)也是有定義的。
例如，A=|A|e^{i \theta}, 這里theta是其幅角，這樣 ln(A)=ln|A|+i\theta
就是一個復(fù)數(shù)了。

Matlab就是這樣定義的，大家可以驗證。
9樓2011-11-15 19:52:43
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
引用回帖:
9樓: Originally posted by foxzy at 2011-11-15 19:52:43:
一般的定義是這樣的吧：

A^b=exp(b*ln(A))

對于A是復(fù)數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)也是有定義的。
例如，A=|A|e^{i \theta}, 這里theta是其幅角，這樣 ln(A)=ln|A|+i\theta
就是一個復(fù)數(shù)了。

Matlab就是這樣 ...

你是說MATLAB中求冪都是通過A^b=exp(b*ln(A))來計算的嗎?
另外A=|A|e^{i \theta}什么意思,沒看懂
10樓2011-11-15 21:30:27
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★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
引用回帖:
10樓: Originally posted by eastsunsong at 2011-11-15 21:30:27:
你是說MATLAB中求冪都是通過A^b=exp(b*ln(A))來計算的嗎?
另外A=|A|e^{i \theta}什么意思,沒看懂

復(fù)數(shù)的一般表達(dá)形式啊，|A|表示它的模長，如果A是實數(shù)就是其絕對值啦。theta是幅角。

你學(xué)過復(fù)數(shù)的概念嗎？
11樓2011-11-15 21:36:52
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
引用回帖:
11樓: Originally posted by foxzy at 2011-11-15 21:36:52:
復(fù)數(shù)的一般表達(dá)形式啊，|A|表示它的模長，如果A是實數(shù)就是其絕對值啦。theta是幅角。

你學(xué)過復(fù)數(shù)的概念嗎？

看明白了,一般只想起a+bi的形式,你寫的是指數(shù)形式r*exp(iθ)
12樓2011-11-15 22:17:30
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引用回帖:
12樓: Originally posted by eastsunsong at 2011-11-15 22:17:30:
看明白了,一般只想起a+bi的形式,你寫的是指數(shù)形式r*exp(iθ)

對，這樣表達(dá)比較好去定義指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)啊！
13樓2011-11-15 22:33:29
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yuannian82

金蟲 (小有名氣)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
引用回帖:
1樓: Originally posted by eastsunsong at 2011-11-14 15:25:39:
高中數(shù)學(xué)僅僅討論了X^a=b(X>0,a為整數(shù))的情形,現(xiàn)在問題來了:
(-2)^0.2=?
MATLAB給出結(jié)果是0.9293 + 0.6752i
excel結(jié)果是-1.14869835500

多值函數(shù),貌似可以理解,但是:
MATLAB為什么只給出了一個結(jié)果?
...

你用MATLAB算算，(0.9293 + 0.6752i)^5是不是等于-2左右?
如果是，那么求解是當(dāng)作以下等式在復(fù)數(shù)域中來求解的：
，其中x=a+bi.
14樓2011-11-16 09:32:54
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
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14樓: Originally posted by yuannian82 at 2011-11-16 09:32:54:
你用MATLAB算算，(0.9293 + 0.6752i)^5是不是等于-2左右?
如果是，那么求解是當(dāng)作以下等式在復(fù)數(shù)域中來求解的：
，其中x=a+bi.

復(fù)數(shù)域求解沒學(xué)過,看來數(shù)學(xué)只接觸了皮毛
15樓2011-11-16 10:10:50
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
引用回帖:
2樓: Originally posted by alpha94 at 2011-11-14 20:42:02:
確實是個高中問題。一般的,  (-2)^0.4表示的是一個實數(shù)，也就是所謂的方根。實際上，(-2)^0.4是(-2)^2的五次方根。如果你用軟件計算的話，一般的要輸入整數(shù)的開方和冪。另外軟件計算的話不同的過程，會有不同的誤 ...

問題解決了,非常感謝  
           
對于一個實數(shù)a(或正或負(fù)),他的1/n次冪,均有n個根
即:a^(1/n)=1/(a^n)*exp[i(pi/n+2k*pi/n)],其中1= 如果a<0，則有且只有一個負(fù)數(shù)根,如(-2)^0.2=-1.148，其它的四個根全為復(fù)數(shù),包括0.9293 + 0.6752i,
如果a>0，則有一正一負(fù)兩個實數(shù)根,其它的n-2個位復(fù)數(shù)根
所以MATLAB給出了(-2)^0.2的一個復(fù)數(shù)根,而excel給出了他的實數(shù)根

對于(-2)^0.4,與x^5=(±2)^2有兩個根是相同的,包括一個負(fù)實數(shù),剩余的三個根被(2)^0.4分得.
16樓2011-11-16 21:05:23
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
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4樓: Originally posted by 33221100 at 2011-11-14 21:53:13:
Mathematica： 0.929316 + 0.675188 I

問題解決了,非常感謝  
           
對于一個實數(shù)a(或正或負(fù)),他的1/n次冪,均有n個根
即:a^(1/n)=1/(a^n)*exp[i(pi/n+2k*pi/n)],其中1= 如果a<0，則有且只有一個負(fù)數(shù)根,如(-2)^0.2=-1.148，其它的四個根全為復(fù)數(shù),包括0.9293 + 0.6752i,
如果a>0，則有一正一負(fù)兩個實數(shù)根,其它的n-2個位復(fù)數(shù)根
所以MATLAB給出了(-2)^0.2的一個復(fù)數(shù)根,而excel給出了他的實數(shù)根

對于(-2)^0.4,與x^5=(±2)^2有兩個根是相同的,包括一個負(fù)實數(shù),剩余的三個根被(2)^0.4分得.
17樓2011-11-16 21:06:13
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
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7樓: Originally posted by cars at 2011-11-15 09:12:13:
當(dāng)指數(shù)取整數(shù)時是高中的知識，為有理數(shù)時應(yīng)該就不是了，為無理數(shù)時就超過一般的大學(xué)內(nèi)容了。
可以百度一下“冪函數(shù)”。
但matlab與之有點小不一樣。對于x^(p/q),p和q互質(zhì)。
,matlab采用(x^(1/q))^p，百度中定義 ...

問題解決了,非常感謝  
           
對于一個實數(shù)a(或正或負(fù)),他的1/n次冪,均有n個根
即:a^(1/n)=1/(a^n)*exp[i(pi/n+2k*pi/n)],其中1= 如果a<0，則有且只有一個負(fù)數(shù)根,如(-2)^0.2=-1.148，其它的四個根全為復(fù)數(shù),包括0.9293 + 0.6752i,
如果a>0，則有一正一負(fù)兩個實數(shù)根,其它的n-2個位復(fù)數(shù)根
所以MATLAB給出了(-2)^0.2的一個復(fù)數(shù)根,而excel給出了他的實數(shù)根

對于(-2)^0.4,與x^5=(±2)^2有兩個根是相同的,包括一個負(fù)實數(shù),剩余的三個根被(2)^0.4分得.
18樓2011-11-16 21:06:42
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
引用回帖:
9樓: Originally posted by foxzy at 2011-11-15 19:52:43:
一般的定義是這樣的吧：

A^b=exp(b*ln(A))

對于A是復(fù)數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)也是有定義的。
例如，A=|A|e^{i \theta}, 這里theta是其幅角，這樣 ln(A)=ln|A|+i\theta
就是一個復(fù)數(shù)了。

Matlab就是這樣 ...

問題解決了,非常感謝  
           
對于一個實數(shù)a(或正或負(fù)),他的1/n次冪,均有n個根
即:a^(1/n)=1/(a^n)*exp[i(pi/n+2k*pi/n)],其中1= 如果a<0，則有且只有一個負(fù)數(shù)根,如(-2)^0.2=-1.148，其它的四個根全為復(fù)數(shù),包括0.9293 + 0.6752i,
如果a>0，則有一正一負(fù)兩個實數(shù)根,其它的n-2個位復(fù)數(shù)根
所以MATLAB給出了(-2)^0.2的一個復(fù)數(shù)根,而excel給出了他的實數(shù)根

對于(-2)^0.4,與x^5=(±2)^2有兩個根是相同的,包括一個負(fù)實數(shù),剩余的三個根被(2)^0.4分得.
19樓2011-11-16 21:07:30
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
引用回帖:
14樓: Originally posted by yuannian82 at 2011-11-16 09:32:54:
你用MATLAB算算，(0.9293 + 0.6752i)^5是不是等于-2左右?
如果是，那么求解是當(dāng)作以下等式在復(fù)數(shù)域中來求解的：
，其中x=a+bi.

問題解決了,非常感謝  
           
對于一個實數(shù)a(或正或負(fù)),他的1/n次冪,均有n個根
即:a^(1/n)=1/(a^n)*exp[i(pi/n+2k*pi/n)],其中1= 如果a<0，則有且只有一個負(fù)數(shù)根,如(-2)^0.2=-1.148，其它的四個根全為復(fù)數(shù),包括0.9293 + 0.6752i,
如果a>0，則有一正一負(fù)兩個實數(shù)根,其它的n-2個位復(fù)數(shù)根
所以MATLAB給出了(-2)^0.2的一個復(fù)數(shù)根,而excel給出了他的實數(shù)根

對于(-2)^0.4,與x^5=(±2)^2有兩個根是相同的,包括一個負(fù)實數(shù),剩余的三個根被(2)^0.4分得.
20樓2011-11-16 21:08:01
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引用回帖:
19樓: Originally posted by eastsunsong at 2011-11-16 21:07:30:
問題解決了,非常感謝  
           
對于一個實數(shù)a(或正或負(fù)),他的1/n次冪,均有n個根
即:a^(1/n)=1/(a^n)*exp[i(pi/n+2k*pi/n)],其中1=<k<=n
如果a<0，則有且只有一個負(fù)數(shù)根,如(-2)^0.2=-1.148，其 ...

你說的這是指數(shù)為有理數(shù)的情形，一般情形還得用我說的那種定義。
21樓2011-11-16 21:35:05
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newton19722005

金蟲 (小有名氣)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
在實數(shù)范圍內(nèi),  冪是這樣定義的
對a>0, 且 a≠1
當(dāng)a>1時
a^x=Sup{a^r| r 當(dāng)0 a^x=Sup{a^r| r>x, 且r為有理數(shù) }
也有其它定義方法,但本質(zhì)上等價. 可以看數(shù)學(xué)分析教材(有的也不講). 這里的關(guān)鍵是a>0, 否則定義中的a^r可能無意義. 所以底是負(fù)數(shù)時,冪沒有意義

但在復(fù)數(shù)域內(nèi), 有意義
z^a=e^(aLnz)
而且是多值的, Matlab給出的應(yīng)該是一個主值
請參考任何一本復(fù)變函數(shù)教材
22樓2011-11-17 13:33:35
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newton19722005

金蟲 (小有名氣)
★
eastsunsong(金幣+1):謝謝參與
另外這顯然不是一個高中的問題, 也可能出題的人本身就稀里糊涂
23樓2011-11-17 13:38:20
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eastsunsong

金蟲 (著名寫手)
引用回帖:
23樓: Originally posted by newton19722005 at 2011-11-17 13:38:20:
另外這顯然不是一個高中的問題, 也可能出題的人本身就稀里糊涂

不是高中試題，這是我用excel時偶然發(fā)現(xiàn)所想到的
24樓2011-11-17 20:05:03
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