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自然卷在發(fā)愣金蟲 (小有名氣)
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[求助]
對(duì)稱矩陣是正定矩陣的充分必要條件？
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在推導(dǎo)過程中遇到一個(gè)疑問，見下圖，式子稍微有點(diǎn)復(fù)雜，但簡而言之，我的問題是：對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線上元素之和大于0是否是該對(duì)稱矩陣為正定矩陣的一個(gè)充分條件？教材上貌似沒有找到相關(guān)的定理或者推論，但是感覺可能有相關(guān)結(jié)論，敬請(qǐng)賜教，不勝感激！ [ Last edited by 自然卷在發(fā)愣 on 2011-12-5 at 23:52 ] |
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自然卷在發(fā)愣
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6樓2011-12-07 00:26:55
saladin983
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2樓2011-12-06 00:07:28
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自然卷在發(fā)愣(金幣+2): 謝謝指導(dǎo)，明白了 2011-12-06 21:10:08
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“對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線上元素之和大于0”是“該對(duì)稱矩陣為正定矩陣”的必要不充分條件。 對(duì)角元素的和 = 特征值的和 正定矩陣的特征值全為正數(shù)，所以其和也必為正數(shù)；相應(yīng)的，對(duì)角元素的和也為正數(shù)。所以，必要條件可證。 對(duì)角線元素之和大于0只能得出特征值之和大于0的結(jié)論，不能得出每一個(gè)特征值都大于0的結(jié)論。所以，不是充分條件。 |
3樓2011-12-06 11:35:42
hyit_lxq
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4樓2011-12-06 13:32:24
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5樓2011-12-06 22:24:25
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【答案】應(yīng)助回帖
自然卷在發(fā)愣(金幣+2): 恩，現(xiàn)在明白了，謝謝 2011-12-07 23:21:13
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這個(gè)矩陣應(yīng)該不是正定矩陣。正定矩陣的一個(gè)前提條件是矩陣式實(shí)對(duì)稱。你寫的這個(gè)矩陣也滿足這個(gè)條件。 判斷一個(gè)矩陣正定的一個(gè)方法就是計(jì)算所有的K階主子式全為正的話矩陣就是正定的。 所謂K階主子式就是取矩陣的前K行前K列交叉位置上的元素構(gòu)成的K階行列式。 這樣一來，首先要保證a（1，1）是個(gè)正數(shù)，你寫的這個(gè)矩陣未必能保證這一點(diǎn)。 |
7樓2011-12-07 22:39:57
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