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jesseliuxl金蟲 (小有名氣)
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[求助]
初一的奧數(shù)題咋都這么難了啊
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遇到一個初一的奧數(shù)題，搞了半天沒搞出來，請高人幫忙，謝謝 |
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orange9634
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【答案】應助回帖
感謝參與，應助指數(shù) +1
jesseliuxl(金幣+5): ★★★★★最佳答案 2012-01-30 10:19:41
jesseliuxl(金幣+5): ★★★★★最佳答案 2012-01-30 10:19:41
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1. 首先，這類題目通常的思路便是將分母變成連續(xù)數(shù)的乘積，以便拆項： 分母的通項公式是 D_n = Sum_{i=1}^{n} [i*(i+1)] = Sum_{i=1}^{n} [ i ] + Sum_{i=1}^{n} [ i^2 ] 那么，右側(cè)這兩個求和，分別是 高斯公式 與 平方和公式， 常識哦，分別為 [n*(1+n)]/2 和 [n*(n+1)*(2n+1)]/6 從而， D_n=[n*(n+1)*(n+2)]/3 2. 接下來 拆項，記通項為A_n, 則有A_n = 1/D_n = 3/2 *[1/n - 2/(n+1) + 1/(n+2)]= 3/2 *[1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))] 注意這個拆項后的系數(shù)，是通過將1/n、1/(n+1) 和1/(n+2)的系數(shù)分別假設為未知數(shù)，然后求解線性方程組來確定的。這個實在簡單，不再贅述。 3. 最后求和唄， S_m=Sum_{n=1}^{m}[ A_n ] = 3/2 * Sum_{n=1}^{m}[1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))] 很明顯咯， S_m= 3/2 * [1/2-1/((m+1)*(m+2)) ] 令， m=9, S_9=81/110 |
3樓2012-01-30 00:45:25
dxwbucea
鐵蟲 (著名寫手)
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2樓2012-01-29 21:25:24
orange9634
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4樓2012-01-30 00:55:11
【答案】應助回帖
感謝參與，應助指數(shù) +1
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可以設數(shù)列a(n)=n*n+n,則對數(shù)列a(n)求和，記作s(n).求和就是n*n和n分別求和，得n(n+1)(2n+1)/6和(n+1)n/2。相加得s(n)=n(n+1)(n+2)/3，本題通項則是倒數(shù)，3/(n(n+1)(n+2))，記為數(shù)列p(n),對此式進行分解p (n)=3/2*(1/n/(n+1)-1/(n+1)(n+2,對p(n)求和即為原題所求。由于累加即可抵消相鄰項，故和式=1.5*(1/2-1/(n+1)/(n+2))。n取9即得。 關于n*n的求和公式，可以用（n+1）^3展開式進行計算， (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 等式兩邊同時從n=1 to n=n 求和 等式左邊是sigema[(n+1)^3] 等式右邊是sigema[n^3+3n^2+3n+1]=sigema[n^3]+3*sigema[n^2]+3(n+1)n/2+n 其中等式兩邊sigema[n^3]抵消了，即可得sigema[n^2]的公式。 |
5樓2012-01-30 21:34:45
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