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篤學(xué)明志

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[求助] 二階變系數(shù)線性方程求助遞推數(shù)列通項(xiàng)求解

在驗(yàn)證本學(xué)科幾率效應(yīng)的時(shí)候遇到一個(gè)極限問題，該數(shù)列是這樣的：

我想知道大俠們能否求出n—>infinite時(shí)S的極限值，我主要還是想了解通項(xiàng)的求法，我轉(zhuǎn)換成二階變系數(shù)方程后不知道怎么處理了？拼不出來(lái)函數(shù)？可能要變形，重新構(gòu)造數(shù)列。謝謝！

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一日紅黑，終生紅黑！

1樓 2012-09-22 21:42:39

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怎么沒有一點(diǎn)動(dòng)靜��？！

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2樓2012-09-23 17:26:25

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不是沉了吧？大神救救我啊

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3樓2012-09-25 13:30:26

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閑來(lái)無(wú)事根據(jù)擬合得出
bingo

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4樓2013-04-24 09:36:33

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hank612

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

4樓: Originally posted by 篤學(xué)明志 at 2013-04-24 09:36:33
閑來(lái)無(wú)事根據(jù)擬合得出
bingo

令f(x) = S_1 + S_2 x + S_3 x^2 + ... = Sum_{n >=1} S_n* x^{n-1}.

則 f'(x)= S_2 + 2*S_3 x + 3* S_4 x^2 +...= Sum_{n>=2} (n-1)* x^{n-2} * S_n

你的級(jí)數(shù) 當(dāng)n>=3時(shí)，
(n-1) * S_n - (n-2) * S_{n-1} = 2 * S_{n-2}. 兩邊同時(shí)乘以x^{n-2}, 求和，
請(qǐng)直接驗(yàn)證
(f' - S_2) - x* f' = 2 * x * f.
因此 f' / f = 2x / (1-x). 積分得 f(x)= C* e^{-2x} / (1-x)^2.
帶入 f(0)= S_1=1, 得到 C=1, 即 f(x)= e^{-2x} / (1-x)^2.

利用 e^{-2x}= Sum_{k>=0} (-2x)^k / k!
(1-x)^{-2} = Sum_{n>=0} (-2 choose n) (-x)^n
得到
S_{n+1} = Sum_{k=0}^n (-2)^k / k! * (-1)^{n-k} * (-2 choose n-k).

關(guān)于進(jìn)一步的分析，我無(wú)能為力了。

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5樓2013-07-29 13:35:08

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

4樓: Originally posted by 篤學(xué)明志 at 2013-04-24 09:36:33
閑來(lái)無(wú)事根據(jù)擬合得出
bingo

繼續(xù)樓下的分析。

設(shè)f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
樓主猜測(cè) S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我們避開通項(xiàng)公式，看看可否證明樓主的猜想。

比較 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系數(shù)，得到
S_{n+1} - 2* S_n + S_{n-1} = (-2)^n / n!.
該式子對(duì)所有的n>=0 成立，如果我們?nèi)?S_0=S_{-1}=0的話.

故
S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k! 趨于 e^{-2},
所以樓主的擬合是驚人的準(zhǔn)確。

事實(shí)上，我個(gè)人認(rèn)為 S_{n+1} = S_n + Sum_{k=0}^n (-2)^k / K!
會(huì)比通項(xiàng)公式更好用，也更直觀。

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6樓2013-07-29 15:18:57

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
篤學(xué)明志(sweety代發(fā)): 金幣+10, 鼓勵(lì)蟲友認(rèn)真的回復(fù)和解答 2014-10-14 21:23:38
sweety: 數(shù)學(xué)EPI+1 2014-10-14 21:23:44

引用回帖:

6樓: Originally posted by hank612 at 2013-07-29 15:18:57
繼續(xù)樓下的分析。

設(shè)f(x)= Sum_{n>=1} S_n *x^{n-1} = e^{-2x} / (1-x)^2.
樓主猜測(cè) S_n = (n+2) e^{-2}, 所以我們避開通項(xiàng)公式，看看可否證明樓主的猜想。

比較 (1-x)^2 * f(x) = e^{-2x} 的 x^n 的系 ...

我按樓主的程序畫了圖, 這根本就是一條直線, 我還以為程序出錯(cuò)了呢. 把它在0-100放大,就會(huì)發(fā)現(xiàn)
除了S1=1, S2=0, S3=1, S4=2/3, S5=1 以后都是單調(diào)遞增的, 幾乎是直線.

由于 S_{n+1} - S_n =Sum_{k=0}^n (-2)^k/ k!,
所以 S_{n+1}  = Sum_{m=0}^n Sum_{k=0}^m (-2)^k/ k!
            = Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! * (n+1-k)
= (n+1)*  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ k! -  Sum_{k=0}^n  (-2)^k/ (k-1)!
---> (n+1)*e^{-2} - (-2)* e^{-2}
   = (n+3)* e^{-2}
這就是樓主斷言的 S_n ~ (n+2) * e^{-2}.

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7樓2013-07-30 01:04:22

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引用回帖:

以前曾經(jīng)得到母函數(shù) $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}S_{n+1}x^n$ 的表達(dá)式, 即 $f(x)=\frac{e^{-2x}}{(1-x)^2}$ .

由于 $S_n$ 的精確表達(dá)式頗為復(fù)雜,況且樓主只需要考察是否有 $S_n\sim (n+2)e^{-2}$ , 我們可以直指問題,避開麻煩.

考慮 $e^2f(x)$ 在x=0處的Taylor展開式, 但我們來(lái)個(gè)明修棧道,暗度陳倉(cāng). 由于 $e^2f(x)$ 在x=1是非常容易展開的: $\frac{e^{2-2x}}{(1-x)^2}=\frac{1+2(1-x)}{(1-x)^2}+\int_0^2(2-t)e^{t(1-x)}dt$ .

注意到
$\frac{3-2x}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(3+n)x^n$ 以及顯然的積分式對(duì)x 展開得到的
$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^2(2-t)\frac{(-t)^ne^t}{n!}dt\right)x^n$

于是, 幾乎沒有經(jīng)過任何運(yùn)算, 我們就得到 $e^2S_{n+1}-(3+n)$ 等于
$\int_{0}^2(2-t)\frac{(-t)^ne^t}{n!}dt$ 明顯絕對(duì)值小于 $\frac{2^{n+1}e^2}{n!}$ 趨于0. 這就是樓主看到的 $S_n\sim (n+2)e^{-2}$ .

我翻老貼只是想說(shuō)明, 想問題最好直指本心. 那些兜七兜八把大伙都快繞暈了的, 大體上是竺老師說(shuō)的"小己玄思, 鑿枘不容". 數(shù)學(xué)本該是簡(jiǎn)單而深刻的.

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8樓2016-07-01 01:59:05

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