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happynat銅蟲 (初入文壇)
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《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)方法（轉(zhuǎn)） 已有6人參與
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新的學(xué)年開始，每年都有很多同學(xué)進入大學(xué)學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》，作為一個在教學(xué)第一線的教師，我深刻的體會到，有這個必要向這些新同學(xué)介紹下如何學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》。很多人也許對此不屑，認為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)無非就是上課前做做預(yù)習(xí)，上課好好聽講，作好筆記，然后盡量的多做習(xí)題，其實不然，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要作題，這個是肯定的，也是不能否認的，但是并不是無限制的做題，盲目的做，所以我自己還是覺得這個問題還是十分有必要談下的。 高等數(shù)學(xué)是理工類、經(jīng)管類專業(yè)的基礎(chǔ)課，也是報考工科、管理、經(jīng)濟類碩士研究生的必考科目。不少學(xué)生對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有畏難情緒，我想以具體知識為例介紹自己的一些經(jīng)驗，實踐表明這對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)以及線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、工程數(shù)學(xué)等大學(xué)數(shù)學(xué)課是有助益的。 一、重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和基本能力的發(fā)展 高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識是指它所涉及的基本概念、基本理論和基本方法；基本能力則是指在學(xué)習(xí)知識的同時還要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)習(xí)能力，它包括與數(shù)學(xué)有關(guān)的運算能力、邏輯推理能力和空間想象能力，以及所謂“一般能力”，例如觀察、記憶、理解、應(yīng)用、分析能力等。 基礎(chǔ)知識是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的基本框架。人的知識應(yīng)當(dāng)是系統(tǒng)而有序地分類儲存在大腦中的，這樣有利于需要時能迅速地將其搜索到。通�？梢試@一個基本概念、一種基本理論或方法形成一個知識點，而且許多知識點之間又有著內(nèi)在聯(lián)系，這些知識點的有機聯(lián)結(jié)最終形成一個科學(xué)、合理的知識體系。 有一種說法：知識分子一生用到的知識中，大學(xué)期間所學(xué)的不超過20%，其余80%要靠邊工作邊學(xué)習(xí)來獲得（終身學(xué)習(xí)的意義即在于此），因此大學(xué)期間主要學(xué)兩樣?xùn)|西：基礎(chǔ)知識和學(xué)習(xí)方法。寬厚的基礎(chǔ)知識使你能繼續(xù)學(xué)習(xí)，較強的學(xué)習(xí)能力使你會學(xué)習(xí)，并且學(xué)得更好。 二、關(guān)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的建議 為了便于讀者理解，以下陳述均結(jié)合高等數(shù)學(xué)中“數(shù)列極限”的內(nèi)容進行。 1、理解基本概念 （1）了解概念產(chǎn)生的背景和過程 [例1]數(shù)列極限概念的背景：古埃及人劃分不規(guī)則邊界的土地問題；銀行存款連續(xù)復(fù)利計算問題；用正多邊形逼近圓以計算圓的面積問題等。 多了解一些背景知識有利于對概念的理解，能提高學(xué)習(xí)興趣，學(xué)過之后可以更好地運用它去解決問題。例如理解數(shù)列極限概念對學(xué)習(xí)定積分和無窮級數(shù)中有重要意義。 （2）掌握概念的本質(zhì)屬性 能用自己的話準(zhǔn)確地表述一個概念而不是只會背誦定義，是理解概念的重要表現(xiàn)，為此還要從多角度對其進行辨析。 [例2] 關(guān)于數(shù)列的極限存在即，判斷以下命題的真假： （a）當(dāng)項數(shù)充分大時，數(shù)軸上表示數(shù)列的點與點a的距離可以任意小. （b）若數(shù)軸上點a的任何鄰域外至多只有該數(shù)列的有限多個點 . （c）若數(shù)軸上點 a的任何鄰域內(nèi)都有該數(shù)列的無限多個點 . （d）若 n無限的增大的時候，則點 xn與點a 的距離愈來愈近. （3）清楚概念與相近概念的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別。通過概念間的比較和聯(lián)系能加深對概念的理解。 [例3]什么情況下可以借助函數(shù)的極限計算數(shù)列極限？數(shù)列極限都能作為函數(shù)極限的特例來計算嗎？ （4）清楚概念的外延。知道哪些對象屬于它和哪些不屬于它，有利于對概念分類記憶和理解。以數(shù)列極限為例，要知道數(shù)列極限不存在應(yīng)如何表述？有幾種典型情況——數(shù)列是無窮大，或極限不存在也不是無窮大。 （5）掌握概念的主要性質(zhì)。這是由概念的定義直接導(dǎo)出的結(jié)論，掌握它們有利于理解概念和解決問題。數(shù)列極限的主要性質(zhì)有：極限存在則唯一，局部有界性，局部保號性。 [例4]數(shù)列各項均大于零且極限存在，其極限也是正數(shù)嗎？ （6）思考定義的合理性。定義所描述的對象是否存在？這樣定義是否合理？這與前述“二、1、（1）了解概念產(chǎn)生的背景和過程”是配套的。 [例5]函數(shù)極限x接近于一個確定的a的定義中為什么不要求x一定要取到a？ （7）掌握運用定義及其性質(zhì)解決問題的方法。概念的定義和性質(zhì)可以直接解決問題，例如用定積分的定義計算某些特殊數(shù)列的極限或判斷某些特殊數(shù)項級數(shù)的收斂性。 [例6]用定積分定義計算極限 [例7]判斷級數(shù)收斂性。 2、掌握基本定理和基本方法 （1）了解條件和結(jié)論的關(guān)系。條件是充分的還是必要的？定理證明的主要思路是什么？條件有所變化時對結(jié)論有何影響？定理的逆命題是真是假？若為真能否證明？若為假能否舉出反例？ [例8]“兩數(shù)列之和的極限等于各自極限之和”嗎？一個極限存在與一個極限不存在的兩數(shù)列之和或積的極限還存在嗎？兩個極限都不存在的數(shù)列之和的極限一定不存在嗎？ （2）清楚定理主要用于解決什么問題以及如何運用。這是非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，必須通過解題練習(xí)和學(xué)習(xí)后繼相關(guān)知識后才能有更完整、清晰的認識，因此學(xué)習(xí)者要注意歸納總結(jié)。 [例9]數(shù)列 的極限如何計算？直接在所給等式兩邊取極限可以嗎？若不可，當(dāng)用何種方法？若用單調(diào)有界準(zhǔn)則時先證單調(diào)性還是先證有界性？ （4）通過足夠的練習(xí)掌握定理和方法。除了做那些直接套用結(jié)論就能解決的題目之外，還要做需要對問題的條件或結(jié)論進行一定的轉(zhuǎn)換才能解決的題目，這樣才可能對基本理論和方法有更清楚的理解，并真正掌握這些理論和方法。 3、重視總結(jié)和復(fù)習(xí) 每次課后都要認真復(fù)習(xí)，這是目前被許多學(xué)生忽視的學(xué)習(xí)過程。通過復(fù)習(xí)——閱讀教材、筆記和參考書，以及將課上例題自己再解答一次，應(yīng)能說出今天講了哪些內(nèi)容？重點、難點是什么？自己接受了其中哪些內(nèi)容？運用知識解決問題的水平如何？還有什么問題，怎樣解決（自己思考或求教別人）？通常應(yīng)當(dāng)用與上課時間相等的時間復(fù)習(xí)。 在完成了一個階段（例如一章）的學(xué)習(xí)后，應(yīng)對學(xué)過的知識進行歸納和總結(jié)，因為知識不可能自動形成有條理的東西存入大腦，要做到系統(tǒng)化，簡單的方法就是將當(dāng)前學(xué)到的內(nèi)容整理歸類，并注意同類知識內(nèi)部以及和其他類別知識的聯(lián)系，這樣有利于從宏觀上、整體上掌握知識。 [例11] 求數(shù)列極限的常用方法。（1）單調(diào)有界準(zhǔn)則；（2）夾逼準(zhǔn)則；（3）極限運算法則；（4）借助函數(shù)極限計算（包括洛必達法則）；（5）用定積分定義計算。 4、獨立完成作業(yè) 做作業(yè)的主要目的是熟悉和鞏固學(xué)習(xí)過的理論知識，而且通過作業(yè)能發(fā)現(xiàn)自己在理論知識學(xué)習(xí)中的不足。由于作業(yè)中的問題不一定都能直接套用理論就能解決，因此這是一次理論與實踐結(jié)合的過程。必須獨立完成作業(yè)，不要一旦不會做題就翻看教材中相關(guān)例題的解答甚至照搬。對于實在做不出的題目，應(yīng)當(dāng)帶著自己的問題和思路與別人討論，使其最終得到解決。無論如何都不要抄襲別人的作業(yè)。即使看現(xiàn)成的解答，也要弄懂人家是怎么做的，為什么這樣做，然后自己獨立地做一次。 5、敢提問題，會提問題 高水平的專家和負責(zé)任的教師通過教材、資料和教學(xué)告訴學(xué)生的東西絕大部分是正確的，因此我們首先要認真地“讀”和“聽”，但是又不能迷信，即認為他們說的都是真理。為此大學(xué)生要養(yǎng)成勤于思考和大膽提問的習(xí)慣，不要擔(dān)心提出的問題有錯誤、太幼稚或者得不到解答，即使這個人不愿意回答或不能回答或回答不令你滿意，也還可以再去問別人或干脆自己查資料。不過這里確實存在著如何提問的問題，我的經(jīng)驗是自己先有一個初步看法，然后再和別人討論，這樣往往有效果，因為這時問答雙方在學(xué)術(shù)面前的地位是平等的。一定要形成求真務(wù)實的學(xué)風(fēng)，不要輕易地放過哪怕是很小的問題。 （一）怎樣聽講 對于教師在課堂上講的知識，最重要的是獲得整體的認識，而不拘泥于每個細節(jié)是否清楚。在教師證明定理與推導(dǎo)公式時，重要的是要理解其中的思路。只要掌握了主要思路，即使某些細節(jié)沒有聽清楚，也沒有關(guān)系。你自己完全能夠在這個思路的引導(dǎo)下將全部細節(jié)補足，最后推出結(jié)論。 成功的課堂教學(xué)不在于是否講細講透，不是課堂完全解決問題。課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)把主要思路，重點與難點交代清楚，而將部分細節(jié)留給學(xué)生。課堂教學(xué)要為學(xué)生留下值得思考的問題，學(xué)生在課堂上聽課時，也應(yīng)當(dāng)把主要精力集中在教師的證明思路和對于難點的分析上。如果有某些細節(jié)沒有聽明白，不要影響你繼續(xù)聽其它內(nèi)容。作為21世紀(jì)的大學(xué)生，肩負知識創(chuàng)新使命的未來科學(xué)技術(shù)人才，應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)的各個環(huán)節(jié)培養(yǎng)自己的主動精神和自學(xué)能力，擺脫對教師與課堂的過分依賴。這不僅是今天學(xué)習(xí)的需要，而且是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的需要。 （二）怎樣預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí) 適當(dāng)?shù)念A(yù)習(xí)是必要的，如果時間不多，你可以瀏覽一下教師將要講的主要內(nèi)容，獲得一個大概的印象，這可以在一定程度上幫助你在課堂上跟上教師的思路，如果時間比較充裕，除了瀏覽之外，還可以進一步細致地閱讀部分內(nèi)容，并且準(zhǔn)備好問題，看一下自己的理解與教師講解的有什么區(qū)別，有哪些問題需要與教師討論。如果能夠做到這些，那么你的學(xué)習(xí)就會變得比較主動、深入，會取得比較好的效果。 復(fù)習(xí)不是簡單的重復(fù)，應(yīng)當(dāng)用自己的表達方式再現(xiàn)所學(xué)的知識，例如對某個定理的復(fù)習(xí)，不是再讀一遍書或課堂筆記，而是離開書本和筆記，回憶有關(guān)內(nèi)容，不清楚之處再對照教材或筆記。另外，復(fù)習(xí)時的思路不應(yīng)當(dāng)教師講課或者教科書的翻版，一個可供參考的方法是采用倒敘式。從定理的結(jié)論倒推，為了得到定理的結(jié)論，是怎樣進行推理的，定理的條件用在何處。這樣倒置思維方式，更加接近這個定理的發(fā)現(xiàn)的思路，是一種創(chuàng)造性的思維活動。 如何復(fù)習(xí)概念？首先對于重要的定義，要大家能夠用自己的語言正確地進行復(fù)述。這是理解和應(yīng)用它們的前提條件。其次，盡可能用具體形象的例子解釋或者表現(xiàn)抽象概念，你能舉出越多的實際例子說明某個概念，那么你對這個概念的理解就越加生動和深入。一般來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能死記硬背，這無疑是正確的。但是在某些情況下，背誦定理的證明，對于理解和掌握證明的思想方法也確實是有用的。其奧妙在于通過反復(fù)背誦定理，深切地體會，進而掌握了定理的證明思想，這種方法對于某些數(shù)學(xué)課程是有效的。 （三）怎樣解題 學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中，更多的困難來自于習(xí)題。首先，大家要重視基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一頭扎進題海中去。上面已經(jīng)提及，提高解題能力重要途徑之一是掌握好基本概念和基本方法。另一方面，因為高等數(shù)學(xué)題型變化多樣，解題技巧豐富多彩，許多類型的題目并不是只要掌握好基本概念和基本方法就會作的。需要看一些例題，或者需要教師的指點。不要因為某些題目一時找不到思路而失去信心。 至于如何解題，教師很難總結(jié)出幾個適用于所有題目的通用的方法。怎樣提高自己的解題能力？我認為，除了天生的智力因素之外，解題能力首先取決于基本概念和基本原理的理解與掌握程度。所以，多下功夫掌握基本概念和基本原理，盡可能地多做題目，是提高解題能力的重要途徑。另外，做題要善于總結(jié)，特別是從不同的題目中提煉出一些有代表性的思想方法。 （四）怎樣看參考書 盡可能多地參考一些書籍會使你開闊眼界，增長知識，加深理解�？磪⒖紩袃煞N方式，其一是通讀某一本書，不過大家往往沒有太多的時間去通讀教材之外的書。所以我建議大家采用第二種方法：以問題為中心，有選擇地讀參考書，具體地說就是：如果你對微積分中的某一部分，或者某個問題有興趣，希望多了解一些，作比較深入的研究，那么可以查閱幾本書，看一看其他書上對這個問題是怎樣論述的，在學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，自己可以做一個小結(jié)，在是自學(xué)的重要方式。 好的輔導(dǎo)書對于幫助自己學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)也是有用的，但是使用輔導(dǎo)書要注意方法，不要僅僅停留于逐個地看例題，看得懂不等于會做，想到思路不等于做得完全正確。如果你想扎扎實實地提高解題能力，就要認真地、獨立地解題，通過自己動腦動手體會解題的思路、方法和技巧。 [ Last edited by happynat on 2012-10-22 at 22:50 ] |
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