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qiong2012

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[求助] 求助高手�。�！舉例說(shuō)明：度量空間中的有界閉集不一定是緊集。

度量空間中的有界閉集不一定是緊集，求例子�。�！

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1樓 2012-11-23 23:25:08

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SHUXUEKAOYAN

金蟲 (初入文壇)

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設(shè)(X，d)是離散度量空間，定義d(x,x)=0,d(x,y)=1,x不等于y;則d(X)=1整個(gè)空間X是有界閉集。若X={1,2,3，.......}X=u{i}i=1,2,3,...,{i}為開(kāi)集，但X的此覆蓋不存在有限子覆蓋，即X不緊�。�！

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9樓2013-03-02 13:12:53

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sskkyy

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qiong2012: 金幣+3, ★★★很有幫助 2012-11-24 23:44:20

可否這樣：
設(shè)A為無(wú)限集合。定義度量d(x,y)=1 如果x,y不同；d(x,y)=0如果x=y.
那么A包含在A中任意元素的單位球內(nèi)，但是A不是緊集，因?yàn)锳為離散拓?fù)淇臻g。

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2樓2012-11-24 06:41:41

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sdcyj72

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qiong2012: 金幣+2, ★有幫助 2012-11-24 23:43:45

無(wú)限維賦范線性空間的單位球面都不是緊的

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3樓2012-11-24 07:45:49

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jml506

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4樓2012-11-24 15:14:01

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chuanchua

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做作業(yè)證明的一道題：設(shè)有理數(shù)集Q為度量空間，定義度量d(p,q)=|p-q|, E是由其平方大于2小于3的有理數(shù)構(gòu)成的集合，則E是有界閉集，但是E不是緊的。

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5樓2012-11-25 00:40:32

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引用回帖:

5樓: Originally posted by chuanchua at 2012-11-25 00:40:32
做作業(yè)證明的一道題：設(shè)有理數(shù)集Q為度量空間，定義度量d(p,q)=|p-q|, E是由其平方大于2小于3的有理數(shù)構(gòu)成的集合，則E是有界閉集，但是E不是緊的。

這個(gè)應(yīng)該是緊集吧？因?yàn)檫@樣Q可以看做通常實(shí)數(shù)R的子空間了。

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6樓2012-11-25 05:34:15

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kyzcf

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小l^2中的單位球面是有界集，但任意兩點(diǎn)間的距離是2^(1/2)，故不列緊，當(dāng)然不緊

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7樓2012-11-27 20:55:05

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7樓: Originally posted by kyzcf at 2012-11-27 20:55:05
小l^2中的單位球面是有界集，但任意兩點(diǎn)間的距離是2^(1/2)，故不列緊，當(dāng)然不緊

小l^2就是平方可和數(shù)列的全體，按照對(duì)應(yīng)分量相減的平方再求和然后后開(kāi)根號(hào)定義的距離空間。

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8樓2012-11-27 20:59:10

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7樓: Originally posted by kyzcf at 2012-11-27 20:55:05
小l^2中的單位球面是有界集，但任意兩點(diǎn)間的距離是2^(1/2)，故不列緊，當(dāng)然不緊

任意兩點(diǎn)的距離怎么會(huì)是√2?你考慮(√3/2，1/2，0，0，…)和(0，1/2，√3/2，0，0，…)

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10樓2014-10-25 09:22:34

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