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sciencejoy

新蟲 (著名寫手)

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[交流] 劉維爾定理已有1人參與

系統(tǒng)哈密頓量 $H(q_i,p_i)$ 是 $2N$ 個變量的 $q_i$ 和 $p_i$ （ $i=1,\ldot,N$ ）函數(shù)。哈密頓量可以顯含時間t，孤立系統(tǒng)的哈密頓量不顯含時間t。哈密頓方程

$\frac{\partial H}{\partial p_i}=\dot{q}_i, \frac{\partial H}{\partial q_i}=-\dot{p}_i$

N組坐標 $(q_i,p_i)$ 構成相空間，相空間中一條軌跡由初始條件 $q_i(0)$ 、 $p_i(0)$ 決定。軌跡不會自相交，如果自相交，以交點為初始條件，確定的軌跡就不唯一了。

考慮兩個時間，t和t+dt，有

$q'=q(t+{\rm d} t)=q+\dot{q}{\rm d} t = q+\frac{\partial H}{\partial p}t$
$p'=p(t+{\rm d} t)=p+\dot{p}{\rm d} t = p-\frac{\partial H}{\partial q}t$

雅科比

$\frac{\partial (q',p')}{\partial (q,p)} = \begin{vmatrix} 1+\frac{\partial^2 H}{\partial p \partial q}{\rm d} t & \frac{\partial^2 H}{\partial p^2}{\rm d} t \\ -\frac{\partial^2 H}{\partial q^2}{\rm d} t & 1-\frac{\partial^2 H}{\partial p \partial q}{\rm d} t \end{vmatrix}=1+O({\rm d} t)^3$

即變換 $(q(0),p(0)) \rightarrow (q(t),p(t))$ 的雅科比
$\frac{{\rm d} J}{{\rm d} t}=0$
因此， $J(t)=1$ ，這就是劉維爾定理：
${\rm d}q{\rm d}p={\rm d}q'{\rm d}p'$

[ Last edited by sciencejoy on 2013-8-10 at 21:23 ]

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liujinlei08

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2樓2013-08-10 23:29:53

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