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水環(huán)境

銅蟲(chóng) (初入文壇)

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[求助] 求一個(gè)公式的積分

求yy''+(y')̇^2=ay的積分，謝謝

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1樓 2013-08-14 15:09:13

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jevonszou

木蟲(chóng) (職業(yè)作家)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

這個(gè)公式的積分？
不明白
這不是微分方程嗎？
求解微分方程怎么較求公式的積分呢？
微分方程你參考一下書(shū)吧

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2樓2013-08-14 15:23:57

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B12050913

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

令 y'=p,則 y''= pdp/dy,
yp dp+(p^2-ay)dy=0,
利用積分因子可以算

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3樓2013-08-14 15:26:26

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zhangqi1989

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【答案】應(yīng)助回帖

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這是常微分方程：令y'=p,y''=dp/dx=(dp/dy)·(dy/dx)=pdp/dy;
原方程化簡(jiǎn)為pdp/dy+p^2/y=ay;
這里要a進(jìn)行情況討論，我只做a=0的情況，a不為0有點(diǎn)復(fù)雜：
當(dāng)a=0時(shí)，化簡(jiǎn)為pdp/dy=-p^2/y,即dp/p=-dy/y，所以lnp=-lny+lnC1
py=C1，將p帶人，即ydy/dx=C1，即ydy=C1dx,解得y^2=C1x+C2,C1,C2均為常數(shù)。

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4樓2013-08-14 15:46:26

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pippi6

鐵桿木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)

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【答案】應(yīng)助回帖

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2樓和3樓的先期工作啟發(fā)了我。我的解是這樣的，但是最后的積分好像需要橢圓函數(shù)之類。

快照4.jpg

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5樓2013-08-14 20:04:17

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B12050913

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積分因子為 y,變?yōu)?
py^2 dp+p^2 y dy=ay^2 dy
d(1/2•p^2•y^2)=d(1/3•ay^3)

(py)^2=2/3•a•y^3+C

以下一致。

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6樓2013-08-15 09:33:29

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