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math2000鐵桿木蟲 (職業(yè)作家)
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[求助]
請教一個群論中的問題
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請問下面問題如何解答： 設(shè)G是非空集合，在G上定義一個滿足結(jié)合律的二元運算：對G中任意的元素a和b，定義二元運算ab仍在G中。 若對G中任意元素x，G中存在唯一元素y，使得x=xyx.則G是群。 不知道如何證明單位元存在？？ 先謝了 |
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math2000
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3樓2013-10-07 16:51:35
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
math2000: 金幣+5, ★★★★★最佳答案, 非常感謝，雖然我也證明出來了，但方法比你提出的方法啰嗦多了 2013-10-08 18:33:32
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1.) When x=xyx, then x=x*yxy*x, by uniqueness, y=yxy. 2.) Let a=xy, clearly a^2=a. Assume there is another b such that b^2=b, we want to show a=b. [ Consider ab and c such that ab*c*ab=ab. Then ab* bc*ab=ab, so bc=c. Similarly, ab* ca*ab=ab implies ca=c. Now from c* ab*c=c, it gets c*b*c=c, thus ab=b. meanwhile, c*a*c=c, so ab=a too. Thus a=b. ] 3.) This a=b is the identity element for the group. We do not assume finiteness on the set G. |
5樓2013-10-08 03:58:33
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