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蘇競存_流形的拓撲學
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本書作者以微分流形為中心寫了這本書，涉及拓撲學的廣泛的領域并在分析數(shù)學、幾何學乃至理論物理學中均可得到重要的應用。本書的主要內(nèi)容是：微分流形、示性類理論、表示論大意、Hodge理論、Hirzebruch指標定理、Riemann-Roch定理、Atiyah-Singer指標定理和Gauss-Bonnet定理等。拓撲學的方法與結果在各個數(shù)學分支中有著廣泛的應用，因此適當選擇其中的內(nèi)容供各個分支的研究者與教師之用是一個很重要的工作。 第1章 基本定義 1.1 定義和例 1.2 光滑函數(shù)與光滑映射 1.3 字流形和隱函數(shù)定理 1.4 技術性的問題 參考文獻 第2章 切叢 2.1 流形的切叢 2.2 內(nèi)在的描述 2.3 切空間的幾何意義 2.4 球面的切叢 參考文獻 第3章 矢量叢 3.1 定義和例 3.2 矢量叢上的運算 3.3 叢的正合序列、分裂和一的分裂 3.4 法叢 3.5 仿緊性與一的分割 第4章 流形上的微分學 4.1 方向?qū)?shù)和矢量場 4.2 矢量場的幾何，積分曲線 4.3 括弧運算和Frobenius定理 4.4 矢量場的拓撲學 4.5 附錄 參考文獻 第5章 Lie群 5.1 Lie群的Lie代數(shù) 5.2 局部同構，Sophus Lie的基本定理 5.3 指數(shù)映射，較深的結果 5.4 Lie群上的Taylor級數(shù)展開市，更多的應用 5.5 解析結構和存在性定理 5.6 單連通Lie群 參考文獻 第6章 微分形式 6.1 引言 6.2 函數(shù)的微分與一次微分形式 6.3 外代數(shù)的概述 6.4 高次微分形式 6.5 其它問題 參考文獻 第7章 積分 7.1 引言 7.2 單形 7.3 矢量空間中的積分 7.4 流形上的積分 7.5 應用 參考文獻 第8章 de Rham 定理 8.1 例和概述 8.2 奇異同調(diào)和de Rham定理 8.3 單純形同調(diào) 8.4 de Rham定理的證明 8.5 復流形和Dolbeault上同調(diào)，一個簡短的插曲 參考文獻 第9章 同調(diào)理論 9.1 一般的代數(shù)知識 9.2 正合性 9.3 同倫，單純逼近 9.4 切除和Mayer-Vietoris序列 9.5 應用 9.6 CW復形和進一步的計算 參考文獻 第10章 上同調(diào) 10.1 引言 10.2 Pontrjagin對偶性 10.3 乘積空間和Kunneth公式 10.4 “上”積（Cup Product）與“卡”積（Cup Product） 10.5 Thom同構定理 10.6 Hopf不變量 第11章 Poincare對偶性 11.1 引言 11.2 基本類 11.3 Poincare對偶定理 11.4 Thom-Pontrjagin構造 11.5 相交理論 第12章 纖維叢通論 12.1 引言 12.2 具有構造群的纖維叢 12.3 主叢 12.4 構造群的改變 12.5 萬有叢和分類空間 12.6 覆蓋同倫性質(zhì) 12.7 雜記 參考文獻 第13章 示性類 13.1 圓群G=S和對合G=Z的示性類 13.2 酉群U（n）的示性類（陳類）與正交群O(n)的示性類（Stiefel-Whitney類） 13.3 計算 13.4 其它的講法 13.5 Pontrjagin 類 13.6 K-群和陳特征標 參考文獻 第14章 表示論通論 14.1 引言 14.2 一般概念 14.3 緊群和不變積分 14.4 特權標與權 14.5 極大環(huán)面與E.Cartan定理 14.6 實表示 14.7 根與Weyl定理 14.8 E.Cartan定理 14.9 其它評述 參考文獻 第15章 示性類緒論 15.1 Borel-Hirzebruch格式 15.2 齊性空間上的計算 15.3 H*（BO（n）;Q）和H*(BSO(n);Q)的計算 15.4 Pontrjagin數(shù)和配邊不變性 參考文獻 第16章 Hirzebruch指標定理 16.1 流形的指標 16.2 配邊環(huán)的構造 16.3 乘法序列 16.4 Milnor的怪球 參考文獻 第17章 Laplace 方程和Hodge理論 17.1 偏微分方程（PDE）概況 17.2 調(diào)和函數(shù) 17.3 Laplace-Beltrami算子 17.4 Hirzebruch指標定理的另一表述 17.5 Hodge 定理的證明，總的思路 17.6 Hodge 定理的證明，一個特例 17.7 Hodge定理的證明，一般情況 17.8 澄清，微分幾何概述 17.9 復情況 第18章 Riemann-Roch定理 18.1 亞純函數(shù) 18.2 Cech構造和層 18.3 層的上同調(diào) 18.4 Riemann-Roch定理 18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推廣 18.6 其它的評述 參考文獻 第19章 Atiyah-Singer指標定理 19.1 矢量叢上的一般微分算子 19.2 橢圓算子的解析指標，Hodge理論 19.3 K理論概述 19.4 Todd虧數(shù)和拓撲指標 19.5 Atiyah-Singer指標定理 參考文獻 第20章 曲率和相關問題 20.1 曲率 20.2 曲面的Gauss-Bonnet定理 20.3 曲率和示性類 20.4 主從上的聯(lián)絡 20.5 Yang-Mills泛函 參考文獻 |
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