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xuruiwei木蟲 (小有名氣)
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[求助]
行列式的計算
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一個函數(shù)u 的Hessian 矩陣的行列式，在高維極坐標(biāo)系下如何表示？ 目前，我已算出來，2維和3維的情形， 我覺得這是已有的結(jié)論, 但我在網(wǎng)上沒搜到， 望高手指點交流，謝謝！ 下面是我算出來的結(jié)論 $$ n=2, det(u_{ij})=u_{rr} u_r r^(-1) $$ $$ n=3, det(u_{ij})=u_{rr} (u_{r} r^(-1))^2. $$ 因此我猜想n維的情形應(yīng)該是 $$det(u_{ij})=u_{rr} (u_{r} r^{-1})^ (n-1) $$ |
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xuruiwei
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2樓2013-11-24 15:16:21
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【答案】應(yīng)助回帖
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xuruiwei: 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 我完全用極坐標(biāo)表示了HESSIAN矩陣，計算量比較大，路子走彎了。謝謝！ 2013-11-27 09:54:01
xuruiwei: 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 我完全用極坐標(biāo)表示了HESSIAN矩陣，計算量比較大，路子走彎了。謝謝！ 2013-11-27 09:54:01
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樓主的猜想完全正確,歸納能力超強. 分析如下. 由于函數(shù)是徑向?qū)ΨQ, 所以只有∂u/∂r=u_r非零, 其他對角度的偏導(dǎo)通通為零. 由于r^2=x1^2+..+xn^2, 所以∂r/(∂x_i )= xi/r, 因此∂u/(∂x_i )=U_r* ∂r/(∂x_i )=Ur*xi/r. 當(dāng)i≠j時, (∂^2 u)/(∂x_i ∂x_j )=x_i*(U_rr/r-U_r/r^2 )*x_j/r=(U_rr-U_r/r)*(x_i x_j)/r^2 ; 當(dāng)i=j時, (∂^2 u)/(∂〖x_i〗^2 )=(U_rr-U_r/r)*(x_i^2)/r^2 +U_r/r. 所以Hessian矩陣可以每一行提出公因子(U_rr-U_r/r),剩下方陣B: 非對角線是(x_i x_j)/r^2 , 對角線是(x_i^2)/r^2 加上(U_r/r)/((U_rr-U_r/r) ). 要計算方陣B 的行列式, 只要看看 B - (U_r/r)/((U_rr-U_r/r) )*Id 的特征值就好了. 這個方陣之差是個Rank=1的方陣, 它可以寫成: X^T(轉(zhuǎn)置) * X, 其中 X=(x_1/r,...,x_n/r). 所以這個差方陣一定有(n-1)個特征值為零, 剩下一個特征值為它的Trace,就是(x_i^2)/r^2 之和, 剛好為1. 所以B的特征值由(n-1)重(U_r/r)/((U_rr-U_r/r) ),和1重 1+(U_r/r)/((U_rr-U_r/r) )組成. 現(xiàn)在把公因子(U_rr-U_r/r)乘回去, 可以直接看到Hessian矩陣的特征值由(n-1)重U_r/r,和1重U_rr組成. 這就是樓主早就發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 Det(Hessian)= Urr*(U_r/r)^(n-1). |
3樓2013-11-27 07:34:29
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