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[交流] 譜方法中多項(xiàng)式求根的問題

基于多項(xiàng)式（Legendre、Hermite等）的譜方法求解偏微分方程，難免要涉及到對多項(xiàng)式求根的問題

我用32位計(jì)算機(jī)C++編程計(jì)算，采用通常的方法來求Hermite多項(xiàng)式，超過70次以后，多項(xiàng)式的擬合就已經(jīng)失真了。而用二分法對Hermite多項(xiàng)式求根，超過40次就解不出了，如果用QR算法那效果更差。舍入誤差在多項(xiàng)式中體現(xiàn)得淋漓盡致。

但是我想，求解一個(gè)偏微分方程，100個(gè)以上的基函數(shù)也不算多吧？雖然不要求能夠像Fourier基函數(shù)那么好的穩(wěn)定性�？煽倯�(yīng)該有什么好的算法能夠有效模擬100次以上的帶權(quán)高斯多項(xiàng)式并對其求根，在此請高人指點(diǎn)指點(diǎn)。如果說是要換計(jì)算機(jī)那就免了。

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1樓 2013-12-31 12:02:24

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cool_smile

木蟲 (著名寫手)

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lixy1217: 金幣+2, 歡迎交流 2013-12-31 19:37:49

方法一、可以利用特征值方法求正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。譬如：N次Hermite多項(xiàng)式的零點(diǎn)恰好就是一個(gè)三對角（對稱）矩陣的特征值。
方法二、利用迭代法求根，關(guān)鍵是初值的選取。初值怎么選取可以參考文獻(xiàn) Pan V. (1997, 39(2), SIAM Review)

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2樓2013-12-31 19:09:43

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lixy1217

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引用回帖:

2樓: Originally posted by cool_smile at 2013-12-31 19:09:43
方法一、可以利用特征值方法求正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。譬如：N次Hermite多項(xiàng)式的零點(diǎn)恰好就是一個(gè)三對角（對稱）矩陣的特征值。
方法二、利用迭代法求根，關(guān)鍵是初值的選取。初值怎么選取可以參考文獻(xiàn) Pan V. (1997, 39 ...

不知道你試著算過沒有。其實(shí)求多項(xiàng)式的根本身不是太難，可是次數(shù)一旦高起來，舍入誤差的影響將會非常大。一個(gè)70次的Hermite多項(xiàng)式，它的系數(shù)在數(shù)量級上差別能達(dá)到10的40次方。而且x的70次方，就算是一點(diǎn)小小的擾動(dòng)，帶來的差別也是巨大的。用32位計(jì)算機(jī)操作，不說求根，如何來把這個(gè)多項(xiàng)式表示出來，都是個(gè)問題。

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3樓2013-12-31 19:47:42

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cool_smile

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feixiaolin: 金幣+3 2013-12-31 22:37:10
lixy1217: 金幣+5 2014-01-01 19:58:05

引用回帖:

3樓: Originally posted by lixy1217 at 2013-12-31 19:47:42
不知道你試著算過沒有。其實(shí)求多項(xiàng)式的根本身不是太難，可是次數(shù)一旦高起來，舍入誤差的影響將會非常大。一個(gè)70次的Hermite多項(xiàng)式，它的系數(shù)在數(shù)量級上差別能達(dá)到10的40次方。而且x的70次方，就算是一點(diǎn)小小的擾動(dòng) ...

此言差矣，在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算過程中，一般都不需要把多項(xiàng)式直接表示出來（否則就會導(dǎo)致你所說的舍入誤差積累），如果是正交多項(xiàng)式，一可以利用遞推公式去計(jì)算n次正交多項(xiàng)式的函數(shù)值或者導(dǎo)數(shù)值。

我可以提供matlab子程序給你，用于計(jì)算Hermite求積節(jié)點(diǎn)和權(quán), 當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)很高時(shí)（n>100），你可以檢驗(yàn)下，計(jì)算結(jié)果非常精確。代碼見附件。

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4樓2013-12-31 21:22:11

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4樓: Originally posted by cool_smile at 2013-12-31 21:22:11
此言差矣，在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算過程中，一般都不需要把多項(xiàng)式直接表示出來（否則就會導(dǎo)致你所說的舍入誤差積累），如果是正交多項(xiàng)式，一可以利用遞推公式去計(jì)算n次正交多項(xiàng)式的函數(shù)值或者導(dǎo)數(shù)值。

我可以提供matla ...

聽你這么一說，好像有點(diǎn)意思~~看來直觀上先得到系數(shù)在研究多項(xiàng)式的方式在這里是不適用了。
不禁追問一下，三對角對稱矩陣表示Hermite多項(xiàng)式的根，這是個(gè)什么三對角矩陣？迭代法求根，是常用的牛頓迭代嗎？如果這么說來，更簡單的二分法是否也會適用，因?yàn)槲抑恍枰缹?shí)根？

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5樓2013-12-31 22:35:07

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果然不應(yīng)該求多項(xiàng)式系數(shù)，而應(yīng)該使用Hermite基函數(shù)（不是Hermite多項(xiàng)式）迭代公式直接逐點(diǎn)表示。用最原始野蠻的二分法，可以求到750階以內(nèi)的Hermite基函數(shù)的根。但是對于更高階的多項(xiàng)式，由于根的范圍突破了38.5這個(gè)坎，意味著exp(-0.5*x*x)會低于C程序數(shù)據(jù)范圍的下限，從而直接等于0，也就無法求根了。
不知道這時(shí)候有什么好的處理辦法（呵呵，我這個(gè)人有點(diǎn)貪心）

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6樓2014-01-01 20:04:20

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