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Orlicz

金蟲(chóng) (小有名氣)

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[求助] 區(qū)域的閉包是否連通已有3人參與

定義連通的開(kāi)集為區(qū)域，問(wèn)：區(qū)域的閉包是否連通？(若不是，請(qǐng)給個(gè)反例或鏈接)

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1樓 2014-02-18 10:52:39

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hank612

至尊木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

貌似應(yīng)該是連通的。
假設(shè)C是連通開(kāi)集，C閉 = A 無(wú)交并 B， A, B 開(kāi)。那么 C= (C交A) 無(wú)交并 (C交B), 不妨設(shè) C交A 為空集，即
C 含于 B. 由于 B 含于 A補(bǔ)，因此 B閉含于 (A補(bǔ) 交 C閉), 從而 B= B閉，從而B(niǎo)=C閉。因此 C閉連通。

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We_must_know. We_will_know.

2樓2014-02-18 12:39:04

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ilokb

銀蟲(chóng) (初入文壇)

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

如果區(qū)域定義成連通開(kāi)集的話，那么區(qū)域的閉包是連通的。
我記得老師說(shuō)過(guò)圓盤(pán)是默認(rèn)連通的，然后在閉包內(nèi)任取兩點(diǎn)，分情況討論一下就好。在邊界上時(shí)因?yàn)槭蔷埸c(diǎn)可以做一個(gè)小圓盤(pán)回到區(qū)域內(nèi)部討論。在區(qū)域內(nèi)則已經(jīng)能做出連通路徑了。
拙見(jiàn)

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3樓2014-02-18 13:08:43

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Orlicz

金蟲(chóng) (小有名氣)

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2014-02-18 12:39:04
貌似應(yīng)該是連通的。
假設(shè)C是連通開(kāi)集，C閉 = A 無(wú)交并 B， A, B 開(kāi)。那么 C= (C交A) 無(wú)交并 (C交B), 不妨設(shè) C交A 為空集，即
C 含于 B. 由于 B 含于 A補(bǔ)，因此 B閉含于 (A補(bǔ) 交 C閉), 從而 B= B閉，從而B(niǎo)=C閉 ...

不好意思啊，請(qǐng)問(wèn)一下“A 無(wú)交并 B”是什么意思？

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4樓2014-02-18 18:10:13

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3樓: Originally posted by ilokb at 2014-02-18 13:08:43
如果區(qū)域定義成連通開(kāi)集的話，那么區(qū)域的閉包是連通的。
我記得老師說(shuō)過(guò)圓盤(pán)是默認(rèn)連通的，然后在閉包內(nèi)任取兩點(diǎn)，分情況討論一下就好。在邊界上時(shí)因?yàn)槭蔷埸c(diǎn)可以做一個(gè)小圓盤(pán)回到區(qū)域內(nèi)部討論。在區(qū)域內(nèi)則已經(jīng)能做 ...

因圓盤(pán)是個(gè)非常特殊的集合，其連通性顯然。不怎么具備一般性，謝謝！

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5樓2014-02-18 18:12:04

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jabile

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連通，拓?fù)鋵W(xué)有個(gè)結(jié)論，一般的拓?fù)鋵W(xué)教材應(yīng)該都有
A連通，A \subseteq B \subseteq \overline{A}，則B也連通。

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6樓2014-02-18 19:11:50

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shuxue0

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你這連通的定義是道路連通，還是不能寫(xiě)成兩個(gè)開(kāi)集之并那種定義？

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7樓2014-02-18 23:23:36

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Orlicz

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6樓: Originally posted by jabile at 2014-02-18 19:11:50
連通，拓?fù)鋵W(xué)有個(gè)結(jié)論，一般的拓?fù)鋵W(xué)教材應(yīng)該都有
A連通，A \subseteq B \subseteq \overline{A}，則B也連通。

謝謝！因您的回帖不是應(yīng)助回貼，無(wú)法給金幣，只能送束花了。

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8樓2014-02-19 12:02:42

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血刃飄香

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嗯，剛學(xué)拓?fù)�，一般的連通性的話應(yīng)該好證，即若A是連通的話，A的閉包也連通。
不過(guò)道路連通的話挺麻煩，我記得我自己證過(guò)：若A是道路連通開(kāi)集（即開(kāi)區(qū)域），則A的閉包（即閉區(qū)域）也是道路連通的，具體步驟記不清了，要是你還沒(méi)解決這個(gè)問(wèn)題的話我回憶一下發(fā)上來(lái)

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9樓2014-10-20 23:26:07

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wangefang

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Themorewedo,themorewecando.

10樓2014-10-21 15:28:56

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