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felix2018鐵桿木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)
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方程的穩(wěn)定點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)，以及平衡點(diǎn)，三者怎么理解？ 已有1人參與
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| 各位大神請(qǐng)對(duì)方程的穩(wěn)定點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)，以及平衡點(diǎn)，做一指教，謝謝了！ |
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bangminWu
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2樓2014-03-29 16:39:53
felix2018
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3樓2014-03-29 18:46:30
felix2018
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不動(dòng)點(diǎn)，是指“被這個(gè)函數(shù)映射到其自身一個(gè)點(diǎn)”。 舉例 取一個(gè)淺盒和一張紙，紙恰好蓋住盒內(nèi)的底面。可想而知此時(shí)紙上的每個(gè)點(diǎn)與正在它下面的盒底上的那些點(diǎn)配成對(duì)。把這張紙拿起來(lái)，隨機(jī)地揉成一個(gè)小球，再把小球扔進(jìn)盒里。拓?fù)鋵W(xué)家已經(jīng)證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的紙上至少有一個(gè)這樣的點(diǎn)，它恰好處在它盒底原來(lái)配對(duì)點(diǎn)的正上方。 通過(guò)具體找到這個(gè)點(diǎn)，就能說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題了。 紙被揉成球以后，看它投到紙盒底部的影子。紙盒底部的影子區(qū)域肯定比紙盒底要小。那么，就取【紙盒底部的在影子內(nèi)的那個(gè)部分】，它肯定對(duì)應(yīng)于紙團(tuán)里面的某一小團(tuán)部分。（因?yàn)檎麄�(gè)底板對(duì)應(yīng)于整個(gè)紙團(tuán)，那么地板的一部分就肯定對(duì)應(yīng)于一部分紙團(tuán)） 假如去掉紙團(tuán)的其他部分，那一小團(tuán)部分同樣可以在紙盒底面投影，而且投影肯定比剛才的大投影小，而且在它之內(nèi)。（因?yàn)樗窃谡麄�(gè)紙團(tuán)之內(nèi)）。那么，取這一小片投影（注意這片影子肯定是連續(xù)的不會(huì)斷開(kāi)，因?yàn)榧垱](méi)有撕裂），當(dāng)它再往紙團(tuán)里對(duì)應(yīng)的時(shí)候，肯定對(duì)應(yīng)于其中更小的一團(tuán)。我們?cè)俅伟讯嘤嗟募埲サ簟?br /> 就是說(shuō)： 整個(gè)紙盒對(duì)應(yīng)于紙團(tuán) 紙盒【在紙團(tuán)投影內(nèi)的部分】對(duì)應(yīng)于紙團(tuán)內(nèi)的一小塊 紙盒【一小塊的投影的部分】對(duì)應(yīng)于剛才那一小塊內(nèi)的更小一塊 紙盒【更小塊投影的部分】對(duì)應(yīng)于更小塊中的更更小一塊 ………………………… 不斷地去掉紙無(wú)限次，最后紙團(tuán)只剩下了一個(gè)點(diǎn)，它的投影就對(duì)應(yīng)于紙盒的一個(gè)點(diǎn)。 函數(shù) 例如，定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)f， f(x) = x^2 - 3x + 4， 則2是函數(shù)f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)閒(2) = 2。 也不是每一個(gè)函數(shù)都具有不動(dòng)點(diǎn)。例如f(x) = x + 1就沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)閷?duì)于任意的實(shí)數(shù)，x永遠(yuǎn)不會(huì)等于x + 1。用圖像的話來(lái)說(shuō)，不動(dòng)點(diǎn)意味著點(diǎn)(x,f(x))在直線y = x上，或者換句話說(shuō)，函數(shù)f(x)的圖像與那根直線有共點(diǎn)。這個(gè)例子的情況是，這個(gè)函數(shù)的圖像與那根直線是一對(duì)平行線。 原理 不動(dòng)點(diǎn)原理是數(shù)學(xué)上一個(gè)重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動(dòng)點(diǎn)定理，完整的表達(dá)：完備的度量空間上，到自身的一個(gè)壓縮映射存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。用初等數(shù)學(xué)可以這么理解：連續(xù)映射f的定義域包含值域，則存在一個(gè)x使得f(x)=x 不動(dòng)點(diǎn)的概念可以推廣到一般的拓?fù)淇臻g上。 假設(shè)X是拓?fù)淇臻g， f:X→X是一個(gè)連續(xù)映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動(dòng)點(diǎn)。 穩(wěn)定點(diǎn) 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，駐點(diǎn)可以劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(駐點(diǎn)也稱為穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)。) |
4樓2014-03-29 20:48:11
felix2018
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5樓2014-03-29 20:51:24
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