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在atom-photon interactions (by Claude Cohen-Tannoudji)這本書中, 看到了這樣的一個公式, 提到了principal part.
有沒有人知道是什么意思? 這是和微擾相干的, 第12頁

原文:
The exression of delta-E is
$\delta E_i = P\sum_f \frac{|V_{ji}|^2}{E_i-E_f}$
where P denotes the principal part.

這是 $E_i$ 不等于 $E_j$ 的意思嗎?

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1樓 2014-04-11 23:27:09

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★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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ifelseend: 回帖置頂 2014-06-16 17:44:16
華麗的飄過: 物理EPI+1, 3q 2014-06-17 05:03:06

這是Sokhotski-Plemejl theorem 的一個應(yīng)用。蘇聯(lián)人，沒有留下什么詳細的個人資料。公式里的P，實際上是一個花體的 $\mathscr{P}$ , 在一些刊物中這個符號可能被另外一些符號取代，他們是P.V. 或者
$\int$ 的中間多了一個小小的“橫杠”，就像 $\hbar$ . 現(xiàn)在我們已經(jīng)不把這個積分叫做Principal part了，而是稱作Cauchy principal value. Principal part 正像你所說的那樣，和一個展開相關(guān)。這個定理是用來處理一類特殊的“發(fā)散的積分”，典型的例子有：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx$

這個積分是發(fā)散的，因為x=0的時候，被積函數(shù)就沒有了意義。不過，我們可以把這個積分引向復數(shù)范圍，于是就很神奇地把一個積分分成了兩個部分，而且，各部分都有了自己的含義。

引入一個小正數(shù)，積分變?yōu)?br />
$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

在等號右側(cè)的第一個積分中，有個Delta函數(shù)；實際上

$\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$

是一個洛倫茲線型， $\epsilon$ 越小，線型的寬度就越小。所以它非常像Delta函數(shù)，但是，他不是。因為

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx=\pi$ （留數(shù)定理）

但是我們只要“調(diào)整”一下，就可以得到Delta函數(shù)了。

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x+i \epsilon}dx=-i \pi \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\frac{f(x)}{x}dx$

第二項中的系數(shù)

$\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}$

在 $\epsilon \rightarrow 0^+$ 的時候是1（當然x不能為零）。實際上，等號右側(cè)的第二個極限可以這樣描述

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

這就是Cauchy Principal Value.

$\mathscr{P}\int\frac{f(x)}{x}dx=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0^+}(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx)$

于是就有了：

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=-i \pi f(0) + \mathscr{P}\int \frac{f(x)}{x}dx$

所以你給出的積分是某個積分的一部分。Delta函數(shù)和Principal value經(jīng)常一起出現(xiàn)。在量子物理中，Delta函數(shù)可能是能級加寬（Fermi Golden rule），而Principal value可能是能級移動。在其他的系統(tǒng)中，他們對應(yīng)于其他的物理含義。當然，這種做法并沒有把原來的積分的發(fā)散性消除。只是將其“集中”到了Delta函數(shù)中。

此類做法還可能出現(xiàn)在對Exp(ikx)的積分中（積分下限為0，上限為無窮。對于積分下限為負無窮，上限為無窮的積分會直接導致Delta函數(shù)出現(xiàn)）。這是同樣將x變?yōu)榭拷鼘嵼S的復數(shù)，導致一個衰減項出現(xiàn)。類似上面的推導將出現(xiàn)。并得到類似的結(jié)論。

Good luck！

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8樓2014-06-16 16:04:38

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是的，挖掉使得分母等于零的點，或者說把分母等于零這點的函數(shù)值重新定義為零。

[ 發(fā)自小木蟲客戶端 ]

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2樓2014-04-12 02:21:21

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★
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沒錯！~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

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3樓2014-04-12 06:37:53

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2樓: Originally posted by 簡諧振子 at 2014-04-12 02:21:21
是的，挖掉使得分母等于零的點，或者說把分母等于零這點的函數(shù)值重新定義為零。

可是，principal part指的是負冪次項呀。感覺這里說的是調(diào)整定義域的意思呢。

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4樓2014-04-12 07:53:57

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4樓: Originally posted by ifelseend at 2014-04-12 07:53:57
可是，principal part指的是負冪次項呀。感覺這里說的是調(diào)整定義域的意思呢。
...

你說的調(diào)整定義域應(yīng)該就是我說的挖掉使得分母等于零的那些點的意思吧...

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5樓2014-04-13 01:26:40

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5樓: Originally posted by 簡諧振子 at 2014-04-13 01:26:40
你說的調(diào)整定義域應(yīng)該就是我說的挖掉使得分母等于零的那些點的意思吧...
...

是的。為什么負冪次項和挖掉零點是一個意思呢？

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6樓2014-04-22 16:34:16

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對于這個問題有沒有人有其他的意見？

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7樓2014-05-09 12:30:09

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引用回帖:

8樓: Originally posted by 十點鐘的咖啡 at 2014-06-16 16:04:38
這是Sokhotski-Plemejl theorem 的一個應(yīng)用。蘇聯(lián)人，沒有留下什么詳細的個人資料。公式里的P，實際上是一個花體的\mathscr{P}, 在一些刊物中這個符號可能被另外一些符號取代，他們是P.V. 或者
\int的中間多了一個 ...

thanks, very very much.

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9樓2014-06-16 17:43:53

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