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[交流] 一個(gè)比較特別的行列式已有3人參與

設(shè)a，b，c，d都是整數(shù)，且ad=bc，如果行列式：

$det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}=0$

試證：a=b=c=d=0.
注：條件ad=bc是否可以取消？若可以取消請(qǐng)給出證明，否則請(qǐng)舉出反例。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-4-25 at 13:56 ]

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1樓 2014-04-25 10:47:25

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9樓: Originally posted by hank612 at 2014-04-26 06:26:39
有圖有真相,

det.png

det1.png
...

哦，計(jì)算錯(cuò)誤，軟件不會(huì)用，用手工按你的思路驗(yàn)證計(jì)算了行列式，得到：

$det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}$

$=(15a^2-5b^2-3c^2+d^2)^2-60(ad-bc)^2$

以下計(jì)算會(huì)證了，條件ad=bc也是多余的，可以不要（是行列式等于零的必要條件），謝謝。

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10樓2014-04-26 11:10:10

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feixiaolin

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可視為分塊矩陣
|A B|
|B 5A|
行列式=|A|*|5A-B*A^(-1)*B|=0
條件是 |5A-B*A^(-1)*B|=0 而 |A|<>0

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2樓2014-04-25 15:51:09

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-25 15:51:09
可視為分塊矩陣
|A B|
|B 5A|
行列式=|A|*|5A-B*A^(-1)*B|=0
條件是 |5A-B*A^(-1)*B|=0 而 |A|<>0

這里A不一定可逆呢，……不能這樣運(yùn)算的，……

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3樓2014-04-25 18:18:57

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3樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-25 18:18:57
這里A不一定可逆呢，……不能這樣運(yùn)算的，……...

只要a=b=c=d，便可推出delt()=0;
為了求條件：
1. 假定A可逆;  比較繁瑣，未推求。
2. 假定A不可逆;
如果3a^2-b^2=0; 3c^2-d^2=0;  delt()=0;
   ad=bc 只是一個(gè)特例，ad+bc=0 亦可。

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4樓2014-04-25 20:11:08

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4樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-25 20:11:08
只要a=b=c=d，便可推出delt()=0;
為了求條件：
1. 假定A可逆;  比較繁瑣，未推求。
2. 假定A不可逆;
如果3a^2-b^2=0; 3c^2-d^2=0;  delt()=0;
   ad=bc 只是一個(gè)特例，ad+bc=0 亦可。...

a=b=c=d是要證明的結(jié)論，怎么能拿來(lái)當(dāng)條件使用呢？

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5樓2014-04-26 00:24:18

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hank612

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引用回帖:

fei大神, 我估計(jì)你被要證的結(jié)論或無(wú)關(guān)的條件 ad=bc誤導(dǎo)了

.

要訣: 簡(jiǎn)單!!! 暴力!!!
第一步: 由數(shù)學(xué)軟件可得,  行列式等于
$(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2- 3*2^2*(5ab-cd)^2$
由于a,b,c,d都是整數(shù), 而 $\sqrt{3}$ 是無(wú)理數(shù), 當(dāng)行列式為零時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)" 5ab=cd 并且 15a^2+5b^2 = 3c^2+d^2".

第二步, 不難看出,   $5(\sqrt{3}a+b)^2 = (\sqrt{3}c+d)^2)$
換句話說(shuō), 如果  a,b不全為零的話, 就有 $\sqrt{5} \in Q[\sqrt{3}]$ 這種荒謬的事情.
所以只好 a=b=c=d=0.

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6樓2014-04-26 01:14:01

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6樓: Originally posted by hank612 at 2014-04-26 01:14:01
fei大神, 我估計(jì)你被要證的結(jié)論或無(wú)關(guān)的條件 ad=bc誤導(dǎo)了

.

要訣: 簡(jiǎn)單!!! 暴力!!!
第一步: 由數(shù)學(xué)軟件可得, 行列式等于
(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2- 3*2^2*(5ab-cd)^2
由于a,b,c,d都是整數(shù), 而 \sqrt ...

同志哥，題目并不簡(jiǎn)單！暴力行不通！

$det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}\neq(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2-3\times 2^2(5ab-cd)^2$

事實(shí)上，令a=b=c=d=1，我們就有：

$det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}=32$

$(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2-3\times 2^2(5ab-cd)^2=64$

兩者并不相等。

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7樓2014-04-26 04:59:42

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請(qǐng)教大神，我用mathematic進(jìn)行在線計(jì)算怎么沒(méi)有輸出呢？問(wèn)題出在哪兒？

tupian001.jpg

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8樓2014-04-26 05:41:13

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7樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-26 04:59:42
同志哥，題目并不簡(jiǎn)單！暴力行不通！
det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}\neq(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2-3\times 2^2(5 ...

有圖有真相,

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9樓2014-04-26 06:26:39

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