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hank612

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

如果你要求函數(shù)有界這個(gè)超級(jí)強(qiáng)的限制，那答案是顯然的，原因如下：

假如函數(shù)有最大值或最小值，比如 f(a), 那么 f'(a)=0 （Fermat小定理）因此 |f(a)| <=1.

假如函數(shù)沒有最大或最小值，那么必然是單調(diào)的，比如單調(diào)上升。這時(shí)候要證明一個(gè)引理，有界可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f'(x)在無窮遠(yuǎn)處為零。

因此 $| f(a) | < max( |f(\infty) - f'(\infty)|, |f(-\infty) - f'(-\infty)) \le 1$ .

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11樓2014-05-07 11:44:17

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jeato

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10樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 11:24:49
函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，如果滿足條件：
\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1
則f(x)不可能是有界的。
因此樓主的命題條件不協(xié)調(diào)，需要修正。...

你取fx=1/2sinx就是明顯成立的

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12樓2014-05-07 12:20:33

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Edstrayer

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如果

$\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1$

則

$-1\leq f'(x)-f(x)\leq 1$

令 $f(x)=c(x)e^x$ ，則 $f'(x)=(c(x)+c'(x))e^x$
于是就有：

$-1\leq c'(x)e^x\leq 1$

$-e^{-t}\leq c'(t)\leq e^{-t}$

兩邊對(duì)t從0到x進(jìn)行積分就得到：

$e^{-x}-1\leq c(x)-c(0)\leq -e^{-x}+1$

$1+(c(0)-1)e^x\leq f(x)\leq(1+c(0))e^x-1$

上式當(dāng) $x\to\infty$ 時(shí)導(dǎo)出f(x)無界。

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13樓2014-05-07 14:19:10

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引用回帖:

13樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 14:19:10
如果\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1
則-1\leq f'(x)-f(x)\leq 1
令f(x)=c(x)e^x，則f'(x)=(c(x)+c'(x))e^x
于是就有：
-1\leq c'(x)e^x\leq 1
-e^{-t}\leq c'(t)\leq e^{-t}
兩邊對(duì)t從0到x進(jìn)行積分就得到：
e^{- ...

如果f(x) = 0.5呢？

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14樓2014-05-08 10:32:22

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引用回帖:

當(dāng)c(0) <1時(shí)，你最后一個(gè)不等式只能推出 -\infty <f(x) < \infty.

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15樓2014-05-08 10:36:03

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11樓: Originally posted by hank612 at 2014-05-07 11:44:17
如果你要求函數(shù)有界這個(gè)超級(jí)強(qiáng)的限制，那答案是顯然的，原因如下：

假如函數(shù)有最大值或最小值，比如 f(a), 那么 f'(a)=0 （Fermat小定理）因此 |f(a)| <=1.

假如函數(shù)沒有最大或最小值，那么必然是單調(diào)的 ...

意思接近了，但是有界區(qū)間情形時(shí)需要考慮致密性。無界區(qū)間情況，你的引理是不對(duì)的，比如周期函數(shù)。

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16樓2014-05-08 10:41:42

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Edstrayer

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15樓: Originally posted by pctwo at 2014-05-08 10:36:03
當(dāng)c(0) <1時(shí)，你最后一個(gè)不等式只能推出 -\infty <f(x) < \infty....

當(dāng)c（0）<1時(shí)，令 $x\to-\infty$ 得到

$1\leq f(-\infty)\leq -1$

同樣產(chǎn)生一個(gè)矛盾！

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17樓2014-05-08 11:37:31

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16樓: Originally posted by pctwo at 2014-05-08 10:41:42
意思接近了，但是有界區(qū)間情形時(shí)需要考慮致密性。無界區(qū)間情況，你的引理是不對(duì)的，比如周期函數(shù)。...

恩，考慮不周了。
換個(gè)思路，假設(shè) 存在某點(diǎn)使得 f(a)>1. 那么明顯地 f'(a) >=b= (f(a)-1)>0. 那么在x=a的右側(cè)小鄰域內(nèi)f(x)>f(a).

由于函數(shù)的局部最大值(在導(dǎo)數(shù)為零處取到)最多為1，因此函數(shù)值當(dāng) x>a時(shí)，f(x)>f(a)永遠(yuǎn)成立(函數(shù)值降不下來)。這又使得 f'(x)>=b>0 一直保持下去。那么 f(x) >= b(x-a)+f(a) 對(duì)所有 x>a 成立，這樣的函數(shù)是無界的。

總算找到矛盾了

對(duì)了，如果 f(a) <-1, 考慮 g(x)=-f(x)就可以同理了。

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18樓2014-05-08 12:35:49

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peterflyer

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

樓主的命題似乎并不成立。比如f(x)=e^x，在R上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，
f'(x)=f(x)=e^x，
ABS[f(x)-f'(x)]≡0
但lim(x-->∞)ABS[f(x)]--->∞ 。

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19樓2014-05-08 13:31:31

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jeato

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引用回帖:

19樓: Originally posted by peterflyer at 2014-05-08 13:31:31
樓主的命題似乎并不成立。比如f(x)=e^x，在R上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，
f'(x)=f(x)=e^x，
ABS≡0
但lim(x-->∞)ABS--->∞ 。

我開始漏了函數(shù)有界的條件

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20樓2014-05-08 15:51:34

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