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[求助] 函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，|f(x)-f'(x)|≦1求證|f(x)|≦1 已有4人參與

函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，|f(x)-f'(x)|≦1求證|f(x)|≦1

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1樓 2014-05-07 00:03:18

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如果

$\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1$

則

$-1\leq f'(x)-f(x)\leq 1$

令 $f(x)=c(x)e^x$ ，則 $f'(x)=(c(x)+c'(x))e^x$
于是就有：

$-1\leq c'(x)e^x\leq 1$

$-e^{-t}\leq c'(t)\leq e^{-t}$

兩邊對t從0到x進(jìn)行積分就得到：

$e^{-x}-1\leq c(x)-c(0)\leq -e^{-x}+1$

$1+(c(0)-1)e^x\leq f(x)\leq(1+c(0))e^x-1$

上式當(dāng) $x\to\infty$ 時(shí)導(dǎo)出f(x)無界。

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13樓2014-05-07 14:19:10

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

命題不成立!
比如f指數(shù)函數(shù)f(x)=e^x滿足有連續(xù)導(dǎo)數(shù)
且f(x)=f'(x),所以f(x)-f'(x)=0;
但|f(x)|<1并不不成立!

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2樓2014-05-07 00:49:30

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

如果你要求函數(shù)有界這個(gè)超級(jí)強(qiáng)的限制，那答案是顯然的，原因如下：

假如函數(shù)有最大值或最小值，比如 f(a), 那么 f'(a)=0 （Fermat小定理）因此 |f(a)| <=1.

假如函數(shù)沒有最大或最小值，那么必然是單調(diào)的，比如單調(diào)上升。這時(shí)候要證明一個(gè)引理，有界可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f'(x)在無窮遠(yuǎn)處為零。

因此 $| f(a) | < max( |f(\infty) - f'(\infty)|, |f(-\infty) - f'(-\infty)) \le 1$ .

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11樓2014-05-07 11:44:17

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引用回帖:

2樓: Originally posted by wurongjun at 2014-05-07 00:49:30
命題不成立!
比如f指數(shù)函數(shù)f(x)=e^x滿足有連續(xù)導(dǎo)數(shù)
且f(x)=f'(x),所以f(x)-f'(x)=0;
但|f(x)|<1并不不成立!

()() 可是e^x是無界

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3樓2014-05-07 07:48:51

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引用回帖:

3樓: Originally posted by jeato at 2014-05-07 07:48:51
()() 可是e^x是無界
...

你的條件里面沒有無界這一條件啊!

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4樓2014-05-07 09:12:11

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將題目修改為：
命題：設(shè) $f(x)=a\sin x+b\cos x$ ，其中a，b是給定常數(shù)，如果 $\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1$ ，則 $\mid f(x)\mid\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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4樓: Originally posted by wurongjun at 2014-05-07 09:12:11
你的條件里面沒有無界這一條件啊!...

題目要求f有界

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6樓2014-05-07 09:39:37

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7樓2014-05-07 09:40:35

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5樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 09:29:18
將題目修改為：
命題：設(shè)f(x)=a\sin x+b\cos x，其中a，b是給定常數(shù)，如果\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1，則\mid f(x)\mid\leq\frac{\sqrt{2}}{2}。

要求f有界

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8樓2014-05-07 09:40:49

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3樓: Originally posted by jeato at 2014-05-07 07:48:51
()() 可是e^x是無界
...

要求f是有界函數(shù)

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9樓2014-05-07 09:41:36

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7樓: Originally posted by jeato at 2014-05-07 09:40:35
有界函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，|f(x)-f'(x)|≦1求證|f(x)|≦1

函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，如果滿足條件：

$\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1$

則f(x)不可能是有界的。
因此樓主的命題條件不協(xié)調(diào)，需要修正。

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