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二元函數(shù)偏導(dǎo)存在，是不是函數(shù)就連續(xù) 已有30人參與
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二元函數(shù)在一點處的x，y偏導(dǎo)都存在，那么函數(shù)在這一點是不是一定連續(xù)? [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
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偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)的連續(xù)性是兩個不同的概念，兩者之間沒有必然的蘊含關(guān)系。 例1f(0,0)=0,f(x,y)=xy/(x^2+y^2)(x^2+y^2不等于零) 則f(x,y)在(x,y)=(0,0)不連續(xù)，但是關(guān)于x與y的偏導(dǎo)數(shù)都存在。 例2f(x,0)=0(y=0),f(x,y)=xsin(1/y)(y不等于零） 則f(x,y)在(x,y)=(0,0)點連續(xù)，但是在原點關(guān)于x的偏導(dǎo)與關(guān)于y的偏導(dǎo)都不存在。 |
23樓2014-03-25 21:29:45
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樓上各位說的都很到位： 就二元函數(shù)而言 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)在這點連極限都可能不存在 更不用說函數(shù)連續(xù)了 偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時 則可以確保函數(shù)在該點連續(xù) 但是 函數(shù)在該點連續(xù) 也不足以保證函數(shù)在該點有偏導(dǎo)數(shù) 更不用說有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 猜測樓主不是數(shù)學(xué)班底 之所以如此疑慮 是因為一元函數(shù)的極限 連續(xù) 導(dǎo)數(shù) 連續(xù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是 前者對后者都是必要條件 也很容易接受認(rèn)可 其實 一個生活中的物件也許有助于理解、消除疑慮： 蒙古帳篷式樣的蚊帳 一般用十字交叉的撐桿 帳面就是函數(shù)表示的曲面 撐桿在床面的投影代表坐標(biāo)軸 當(dāng)光撐起撐桿的時候 顯然 曲面是一個光架子 但是這個時候在交叉點 函數(shù)是有定義 無極限 連續(xù)自然也說不上了 只要撐桿是光滑的 自然 偏導(dǎo)數(shù)是有的 |
27樓2014-11-04 12:11:51
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| 反證法：若f(x,y)在點（x0,y0)處不連續(xù)，則其在點（x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py肯定不存在；若pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py在（x0,y0)處均存在，則因為Pf(x,y)/Pl=Pf(x,y)/Px *Cosθ+Pf(x,y)/Py*Sinθ （θ為l的方向矢量與x軸的夾角），則F(x,y）在點（x0,y0)處的任意方向的偏導(dǎo)數(shù)均存在。因此f(x,y)在點（x0,y0)處肯定連續(xù)（可導(dǎo)要比比連續(xù)嚴(yán)格的多�？蓪�(dǎo)不但要求連續(xù)，還要求光滑）。 |
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