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二元函數(shù)偏導(dǎo)存在，是不是函數(shù)就連續(xù) 已有30人參與
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二元函數(shù)在一點(diǎn)處的x，y偏導(dǎo)都存在，那么函數(shù)在這一點(diǎn)是不是一定連續(xù)? [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
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8樓2013-11-10 07:14:53
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18樓2013-11-11 11:16:10
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偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)的連續(xù)性是兩個(gè)不同的概念，兩者之間沒有必然的蘊(yùn)含關(guān)系。 例1f(0,0)=0,f(x,y)=xy/(x^2+y^2)(x^2+y^2不等于零) 則f(x,y)在(x,y)=(0,0)不連續(xù)，但是關(guān)于x與y的偏導(dǎo)數(shù)都存在。 例2f(x,0)=0(y=0),f(x,y)=xsin(1/y)(y不等于零） 則f(x,y)在(x,y)=(0,0)點(diǎn)連續(xù)，但是在原點(diǎn)關(guān)于x的偏導(dǎo)與關(guān)于y的偏導(dǎo)都不存在。 |
23樓2014-03-25 21:29:45
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樓上各位說(shuō)的都很到位： 就二元函數(shù)而言 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)在這點(diǎn)連極限都可能不存在 更不用說(shuō)函數(shù)連續(xù)了 偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時(shí) 則可以確保函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 但是 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 也不足以保證函數(shù)在該點(diǎn)有偏導(dǎo)數(shù) 更不用說(shuō)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 猜測(cè)樓主不是數(shù)學(xué)班底 之所以如此疑慮 是因?yàn)橐辉瘮?shù)的極限 連續(xù) 導(dǎo)數(shù) 連續(xù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是 前者對(duì)后者都是必要條件 也很容易接受認(rèn)可 其實(shí) 一個(gè)生活中的物件也許有助于理解、消除疑慮： 蒙古帳篷式樣的蚊帳 一般用十字交叉的撐桿 帳面就是函數(shù)表示的曲面 撐桿在床面的投影代表坐標(biāo)軸 當(dāng)光撐起撐桿的時(shí)候 顯然 曲面是一個(gè)光架子 但是這個(gè)時(shí)候在交叉點(diǎn) 函數(shù)是有定義 無(wú)極限 連續(xù)自然也說(shuō)不上了 只要撐桿是光滑的 自然 偏導(dǎo)數(shù)是有的 |
27樓2014-11-04 12:11:51
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2樓2013-11-09 00:14:40
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3樓2013-11-09 04:19:19
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| 反證法：若f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0)處不連續(xù)，則其在點(diǎn)（x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py肯定不存在；若pf(x,y)/px 、Pf(x,y)/Py在（x0,y0)處均存在，則因?yàn)镻f(x,y)/Pl=Pf(x,y)/Px *Cosθ+Pf(x,y)/Py*Sinθ （θ為l的方向矢量與x軸的夾角），則F(x,y）在點(diǎn)（x0,y0)處的任意方向的偏導(dǎo)數(shù)均存在。因此f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0)處肯定連續(xù)（可導(dǎo)要比比連續(xù)嚴(yán)格的多�？蓪�(dǎo)不但要求連續(xù)，還要求光滑）。 |
6樓2013-11-09 14:14:11
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10樓2013-11-10 08:19:23
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