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songhuali木蟲 (正式寫手)
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[求助]
二元凸函數(shù)的連續(xù)性證明
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| 哪位大俠幫幫忙：證明二元凸函數(shù)z=F(x,y)在凸區(qū)域D上連續(xù)。 |
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jfili
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【答案】應(yīng)助回帖
songhuali(金幣+10): 謝謝，看了半天還沒看懂，無語……………… 2011-12-03 16:15:36
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先證明一元凸函數(shù)在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)是連續(xù)的 １、令f(x)=[F(x)-F(a)]/(x-a)，則由凸函數(shù)的定義可知：F(x)在x=a的領(lǐng)域內(nèi)是單調(diào)有界的 ２、因f(x)單調(diào)有界，所以單側(cè)極限是存在的，即：F(x)在x=a單側(cè)導(dǎo)數(shù)是存在的。因而得到f(x)單側(cè)連續(xù)。所以雙側(cè)連續(xù)。 再證明F(x,y)在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)是連續(xù)的。 １、F(x,y)凸函數(shù)，可知F關(guān)于變量x是凸函數(shù)（固定y），所以關(guān)于變量x是連續(xù)函數(shù)。同理F關(guān)于y是連續(xù)函數(shù)。 ２、對(duì)任意小的正數(shù)epsilon，存在delta，使得：當(dāng)|x-a|和|y-b| |f(x,y)-f(a,b)| |
2樓2011-11-22 21:00:23
jfili
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3樓2011-12-03 18:54:27
songhuali
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4樓2011-12-03 20:51:44
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★
lovibond(金幣+3): 耐心交流，值得鼓勵(lì) 2011-12-04 10:02:31
songhuali(金幣+40): 謝謝 2011-12-04 20:06:22
lovibond(金幣+3): 耐心交流，值得鼓勵(lì) 2011-12-04 10:02:31
songhuali(金幣+40): 謝謝 2011-12-04 20:06:22
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設(shè)f(x,y)是凸的，不妨設(shè)原點(diǎn)在此集合內(nèi)部，只需要證明f(x,y)在原點(diǎn)連續(xù)。否則令F(x,y)=f(x-a,y-b)，要證f在(a,b)連續(xù)，只要證F在原點(diǎn)連續(xù)；不妨設(shè)f(0,0)=0，否則令F(x,y)=f(x,y)-f(0,0)，而F的連續(xù)性等價(jià)于f(x,y)的連續(xù)性，只需證F在原點(diǎn)連續(xù) 1、如果f(x,y)在E=[-a,a]*[-a,a]上凸函數(shù)（其中a為大于0的某常數(shù)，且此集合在所設(shè)集合內(nèi)部，自然有此凸性），下面證明f(x,0)在[-a,a]上為凸函數(shù) 由f(x,y)的凸性可知，對(duì)任意點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)于E內(nèi)，0 在y1=0,y2=0自然也成立， 即：f(kx1+(1-k)x2),0)>=kf(x1,0)+(1-k)f(x2,0)， 所以f(x,0)為關(guān)于x的一元凸函數(shù) 2、由一元函數(shù)的凸性可知：f(x,0)在x=0點(diǎn)連續(xù)；同理f(0,y)在y=0也連續(xù) 3、對(duì)任意的正數(shù)epsilon，存在delta，使得： 當(dāng)|x|<=delta時(shí)，|f(x,0)| 對(duì)任意的不在坐標(biāo)軸上A(x,y)，不妨設(shè)x>0,y>0（其他情況相同的討論）。 連接A與B1(delta,0)，則過AB1的直線一定與y軸相交，設(shè)交點(diǎn)為C1(0,y1),且A在B1C1之間，且C在圓G之內(nèi)。 設(shè)k為B1A與B1C1線段長(zhǎng)度的比值（0 連續(xù)A與B2(-delta,0)，設(shè)AB2與y軸交于C2(0,y2)，且C2在AB2之間，設(shè)AC2與AB2線段長(zhǎng)度之比為k，則0 epsilon>=[*********(上一行的不等式)]>=kf(x,y)-(1-k)epsilon，即 f(x,y)<=epsilon. 所以得到了-epsilon<=f(x,y)<=epsilon（當(dāng)(x,y)在原點(diǎn)的領(lǐng)域B中）。由連續(xù)函數(shù)的定義得到f(x,y)在原點(diǎn)連續(xù) 說明：直線連接不必拘泥于以上兩條，只要直線與x軸和y軸的兩交點(diǎn)在步驟3中就可以；f(x,y)的下界用A在兩交點(diǎn)之間說明，上界用一交點(diǎn)在A與另一交點(diǎn)之間來說明 |
5樓2011-12-04 00:20:59
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