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yangling2007鐵蟲 (小有名氣)
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[求助]
一道中學幾何證明題，求助初高中專職數(shù)學教師未果，大家?guī)蛶兔? 已有1人參與
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各位，這道題是一個親戚家小孩問了，苦思冥想很久，問了很多人都不會，有專家解答下么？感激！ 一道中學數(shù)學幾何證明題.jpg |
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【答案】應助回帖
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yangling2007: 金幣+10, ★有幫助, 勉強能看懂，有點高深。材料學需要的知識果然包羅萬象哈 2014-05-18 12:20:09
yangling2007: 金幣+10, ★有幫助, 勉強能看懂，有點高深。材料學需要的知識果然包羅萬象哈 2014-05-18 12:20:09
我證明不了EF 平分 DQ， 但是可以證明， 如果Q是D關于EF的對稱點， 那么AQ， OI， BC三線共點。 我對輔助線一向很頭疼，只會簡單粗暴無腦流。利用最近比較流行的trilinear coordinates. 它比普通的笛卡爾坐標系更加有內(nèi)蘊性質。參考 http://www.math.uoc.gr/~pamfilos ... ems/Trilinears.html http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html 內(nèi)心 I=(1,1,1), 外心 O=(cosA, cosB, cosC)，所以直線 OI=（cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB). 注意：點 （alpha,beta, gamma) 在直線(a,b,c)上指 內(nèi)積a*alpha+b*beta+c*gamma=0. 設r是內(nèi)接圓半徑，那么D 點的 Absolute trilinear coordinate 是 (0, 2r*cos^2(C/2), 2r*Cos^2(B/2)), 設D點垂直EF 于點M， 那么M點的 Absolute trilinear coordinate 是 （2r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2), 2r*cos(C/2)cos(A/2)sin(B/2), 2r*cos(B/2)cos(A/2)sin(C/2) ), 由于M是DQ中點，由此得到Q點的Absolute trilinear coordinate 是 （4r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2),2r*cos(C/2)sin((B-A)/2), 2r*cos(B/2)sin((C-A)/2) ) 因此 直線AQ=(0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ). 直線BC=（1，0，0）顯然。 由于三線共點 充分必要條件是 行列式=0，就是三個行向量 （1，0，0）， （cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB)， (0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ) 矩陣行列式等于0。這一眼就可以看出，大概用一下三角函數(shù)的和差化積公式就好了。 |
2樓2014-05-18 06:29:55
hank612
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4樓2014-05-19 20:11:21
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