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設(shè) $x_0=0,x_1=1$ 且 $x_{n+1}=4x_n-x_{n-1},y_0=1,y_1=2$ 且 $y_{n+1}=4y_n-y_{n-1}$
試證：對(duì)一切整數(shù) $n\geqslant 0$ ，有 $y_n^2=3x_n^2+1$ 。

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shuxue0

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數(shù)學(xué)歸納法行嗎。

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2樓2014-06-18 18:00:29

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引用回帖:

2樓: Originally posted by shuxue0 at 2014-06-18 18:00:29
數(shù)學(xué)歸納法行嗎。

沒試過，我想可能證不出來，……

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3樓2014-06-19 04:58:48

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hank612

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直接上歸納法啦.

先化簡(jiǎn)下問題, 讓 $u_n=y_n+\sqrt{3}x_n, v_n=y_n-\sqrt{3}x_n, a=2+\sqrt{3}, b=a^{-1}=2-\sqrt{3}$ ,
那么要求證明 u_n * v_n=1.

由于 $u_{n+1}-a\cdot u_n=b(u_n - a\cdot u_{n-1}), v_{n+1}-b\cdot v_n=a(v_n - b\cdot v_{n-1}$ , 結(jié)合初值條件 u1=1, u2=a; v1=1, v2=b, 立得: u_{n+1} =a* u_n, v_{n+1} =b* u_n,

因此, U(n+1)V(n+1)=a*b*U(n)V(n)=U(n)V(n).

由歸納假設(shè), U(n)V(n)=1, 證畢.

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We_must_know. We_will_know.

4樓2014-06-19 06:22:53

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似乎需要使用Z變換求解以上兩個(gè)差分方程，分別求得x、y與n的關(guān)系，然后證明y^2=3*x^2+1就水到渠成了。

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5樓2014-06-19 09:02:23

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差分方程的求解
https://wenku.baidu.com/link?url ... -fPbwY0Phid02TmWrVu

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6樓2014-06-19 09:10:54

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由Z變換可得到：
x(n)=1/[2*sqrt(3)]*{[2+sqrt(3)]^n-[2-sqrt(3)]^n}
y(n)=1/2*{[2+sqrt(3)]^n + [2-sqrt(3)]^n} 。

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7樓2014-06-19 10:05:05

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由此便可得到：y^2(n)=3*x^2(n) + 1

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8樓2014-06-19 10:11:06

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使用Z變換僅僅使用了它的線性和位移兩個(gè)性質(zhì)就可以解決問題了。

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9樓2014-06-19 15:04:07

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ayismas

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哎，沒有幣了，不再獻(xiàn)丑了

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10樓2014-06-19 16:44:03

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