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nagami

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10樓: Originally posted by tang_zm at 2014-07-05 16:15:48
些許是我沒看懂哈，“存在可數(shù)離散的lambda值，就是本征值問題求的那些值”，意思就是齊次方程的特征值去和算子范數(shù)做比較，就可以判斷方程解的穩(wěn)定性嗎？我是學(xué)微波的，臨時用到，最近才開始看了些積分方程的書。 ...

數(shù)學(xué)上微分方程的有個適定性問題，指輸入條件，比如初始條件，或者非齊次項。穩(wěn)定性指當(dāng)這些條件有微小的擾動，解偏離程度也是小的。
比如以電磁場為例子，你解一個圓形區(qū)域的二維helmholtz方程，
（-Δ+k2）u=f，其中，k是常數(shù)，邊界處u為Dirichlet條件，比如g=0。要問當(dāng)f有微小變動δf，邊界值g有擾動δg時，解f是否能得到控制，比如這樣
||u||≤const*（||δf||+||δg||）。
按照上面提到的想法。你需要解對應(yīng)的本征值問題（-Δ+λ）u=0，一般λ是可數(shù)的且逐漸變大到無窮，比如說0<λ1<λ2<...。
因此呢對于上頭（-Δ+k2）u=f的問題，除了k2等于本征值點意外的所有k，皆可解且唯一，解滿足||u||≤const*（||δf||+||δg||）。
當(dāng)你的k接近本征值點時，這個const變得很大，導(dǎo)致輸入的邊界精度看似很高，解的誤差可能仍很大。就是數(shù)值上的不穩(wěn)定。但理論是穩(wěn)定的吧。

其實這個PDE問題等價于第二類Fredholm積分方程問題，你用Green函數(shù)可表述出來。
還有以上都是個人臆斷，參考下即可。文獻(xiàn)倒沒有

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tang_zm

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11樓2014-07-05 16:37:38

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11樓: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:37:38
數(shù)學(xué)上微分方程的有個適定性問題，指輸入條件，比如初始條件，或者非齊次項。穩(wěn)定性指當(dāng)這些條件有微小的擾動，解偏離程度也是小的。
比如以電磁場為例子，你解一個圓形區(qū)域的二維helmholtz方程，
（-Δ+k2）u=f ...

這個估計應(yīng)該這樣||δu||≤const*（||δf||+||δg||）
如果你對上述分析不放心，你可以查查依賴參數(shù)的Banach不動點定理。
你的領(lǐng)域一般處理高維的Maxwell方程，所以Green函數(shù)多半奇異，你得在L2中討論第二類Fredholm積分方程問題，用Banach不動點定理可以給出一個結(jié)果，當(dāng)積分核函數(shù)滿足平方可積條件后，所得解是穩(wěn)定的，不過第二類Fredholm積分方程方程中的λ不能太大。

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12樓2014-07-05 16:55:12

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12樓: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:55:12
這個估計應(yīng)該這樣||δu||≤const*（||δf||+||δg||）
如果你對上述分析不放心，你可以查查依賴參數(shù)的Banach不動點定理。
你的領(lǐng)域一般處理高維的Maxwell方程，所以Green函數(shù)多半奇異，你得在L2中討論第二類Fred ...

這是那個簡單的推論

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13樓2014-07-05 16:56:29

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太厲害了，連我們的電磁場你都搞的這么透徹。你應(yīng)該應(yīng)助回貼呢，要不我怎么送金幣呢？呵呵
概括一下您上面說的，就是微分方程存在不穩(wěn)定性問題，由于可以通過格林函數(shù)將微分方程化為積分方程，故可將通過微分方程不穩(wěn)定性討論方法，用于積分方程穩(wěn)定性討論？還有就是您說的
“就是數(shù)值上的不穩(wěn)定。但理論是穩(wěn)定的吧�！边@個怎么理解呢？

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14樓2014-07-06 10:11:18

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13樓: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:56:29
這是那個簡單的推論

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...

您說的banach不動點定理，哪本書介紹得淺顯易懂些呢，還有上面那個公式是出自哪本書的呢，我想對應(yīng)去找找看，謝謝！

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15樓2014-07-06 10:19:59

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【答案】應(yīng)助回帖

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tang_zm: 金幣+15, ★★★很有幫助, 講解細(xì)致透徹 2014-07-06 18:39:07

引用回帖:

15樓: Originally posted by tang_zm at 2014-07-06 10:19:59
您說的banach不動點定理，哪本書介紹得淺顯易懂些呢，還有上面那個公式是出自哪本書的呢，我想對應(yīng)去找找看，謝謝！...

看下這個吧http://mathworld.wolfram.com/Gre ... entialEquation.html
理論上k不等于本征值，就不會要問題。這很好理解，就像你求Hilbert矩陣的逆，理論上行列式非零，但是條件數(shù)很大，一般的算法都會求逆失敗，需要特別的針對性算法。
書的話，我建議你看zeidler的nonlinear functional analysis這套第一本fixed pointed theorem就是討論了這些方程。數(shù)學(xué)不需要特別高深，看前幾章就好。

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16樓2014-07-06 10:36:52

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16樓: Originally posted by nagami at 2014-07-06 10:36:52
看下這個吧http://mathworld.wolfram.com/GreensFunctionHelmholtzDifferentialEquation.html
理論上k不等于本征值，就不會要問題。這很好理解，就像你求Hilbert矩陣的逆，理論上行列式非零，但是條件數(shù)很大，一般 ...

已經(jīng)大致看了下，但我的理解是banach不動點定理主要是確定解的存在性與唯一性的問題呢，這和解的穩(wěn)定性應(yīng)該是兩套不同的理論：只有唯一解不能說明方程解就穩(wěn)定了，比如在邊界條件變化前有唯一解a0，在邊界或者激勵有個微小變化時，得到一個新解a1（也是唯一的）,如果a1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a0，則說明此方程不穩(wěn)定；同樣，如果最初的方程解是不唯一的（多解），在邊界或者激勵有個微小變化時，得到的解也不唯一（多解，但是與最初的解相對應(yīng)，相差很微�。荒苷f明此方程的解就不穩(wěn)定呢。不知我的理解正確與否？謝謝！

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17樓2014-07-06 19:04:29

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請問您在l樓上提到的“當(dāng)你的k接近本征值點時，這個const變得很大”，是指const一定會變得很大，還是可能會變得很大呢？看來要說明解的不穩(wěn)定性應(yīng)該要從這個const和特征值上面去想法了，特征值有具體可表征的東西，但是這個const如何表征呢？謝謝

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18樓2014-07-06 19:09:12

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17樓: Originally posted by tang_zm at 2014-07-06 19:04:29
已經(jīng)大致看了下，但我的理解是banach不動點定理主要是確定解的存在性與唯一性的問題呢，這和解的穩(wěn)定性應(yīng)該是兩套不同的理論：只有唯一解不能說明方程解就穩(wěn)定了，比如在邊界條件變化前有唯一解a0，在邊界或者激勵 ...

你的想法很正確，理解也是到位的。這時需要對banach不動點定理做一些擴展，首先你能明顯判斷有些事實，比如積分方程的非齊次項是{+g（x』)}，注意加法運算是連續(xù)的。也就是說輸入條件是連續(xù)作用的事實，而且都是線性的。連續(xù)加線性，能得到這個結(jié)果想必也是很合理的，||δu||≤C（||δf||+||δg||），C》0

2014-07-06 19:24:49的屏幕截圖.jpg

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19樓2014-07-06 19:29:13

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tang_zm: 金幣+15, ★★★很有幫助, 謝謝 2014-07-07 11:47:24

引用回帖:

18樓: Originally posted by tang_zm at 2014-07-06 19:09:12
請問您在l樓上提到的“當(dāng)你的k接近本征值點時，這個const變得很大”，是指const一定會變得很大，還是可能會變得很大呢？看來要說明解的不穩(wěn)定性應(yīng)該要從這個const和特征值上面去想法了，特征值有具體可表征的東西， ...

你可以這樣理解，上次發(fā)你的網(wǎng)址，注意最后兩行。對于可分HIlbert空間，緊自伴算子可以進(jìn)行譜分解。也就是網(wǎng)頁上所說的函數(shù)項級數(shù)展開，這些都是特征函數(shù)，對應(yīng)其特征值。當(dāng)你的積分方程的積分核對稱時，就是自伴的。Green函數(shù)也是對稱的。
注意最后公式，當(dāng)k接近特征值kn時，會出現(xiàn)一階奇性的增長。你可以大膽猜測這個事實是普遍發(fā)生的。

2014-07-06 19:30:21的屏幕截圖.jpg

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20樓2014-07-06 19:35:25

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