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tang_zm新蟲 (小有名氣)
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[求助]
Fredholm積分方程解的穩(wěn)定性 已有1人參與
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 第二類Fredholm積分方程，是否存在解的不穩(wěn)定性問題，該如何討論其解的穩(wěn)定性？相關(guān)文獻？謝謝�。� |
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nagami
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數(shù)學(xué)上微分方程的有個適定性問題，指輸入條件，比如初始條件，或者非齊次項。穩(wěn)定性指當(dāng)這些條件有微小的擾動，解偏離程度也是小的。 比如以電磁場為例子，你解一個圓形區(qū)域的二維helmholtz方程， （-Δ+k2）u=f，其中，k是常數(shù)，邊界處u為Dirichlet條件，比如g=0。要問當(dāng)f有微小變動δf，邊界值g有擾動δg時，解f是否能得到控制，比如這樣 ||u||≤const*（||δf||+||δg||）。 按照上面提到的想法。你需要解對應(yīng)的本征值問題（-Δ+λ）u=0，一般λ是可數(shù)的且逐漸變大到無窮，比如說0<λ1<λ2<...。 因此呢對于上頭（-Δ+k2）u=f的問題，除了k2等于本征值點意外的所有k，皆可解且唯一，解滿足||u||≤const*（||δf||+||δg||）。 當(dāng)你的k接近本征值點時，這個const變得很大，導(dǎo)致輸入的邊界精度看似很高，解的誤差可能仍很大。就是數(shù)值上的不穩(wěn)定。但理論是穩(wěn)定的吧。 其實這個PDE問題等價于第二類Fredholm積分方程問題，你用Green函數(shù)可表述出來。 還有以上都是個人臆斷，參考下即可。文獻倒沒有 |
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tang_zm
11樓2014-07-05 16:37:38
tang_zm
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4樓2014-06-30 08:43:32
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我是純粹外行, google了一下 " stability of solution of fredholm integral equation of the second kind ", 文獻鋪天蓋地的, 比如, www.math.uiowa.edu/~atkinson/ftp/Fie_paper.pdf Matlab算法的 http://homepage.math.uiowa.edu/~atkinson/ftp/Fie_paper.pdf 不過沒有看到討論解的穩(wěn)定性的(起碼題目沒有專門指出穩(wěn)定性研究). 樓主可以自己用百度試試, 或者直接寫信問這方向的數(shù)學(xué)界大牛吧(問導(dǎo)師要個名單,挨個聯(lián)系) |
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5樓2014-07-01 02:46:49
tang_zm
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7樓2014-07-05 09:55:08
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【答案】應(yīng)助回帖
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tang_zm: 金幣+15, ★有幫助, 感謝哈，看得不是很明白，感覺你說到的是解的存在性和唯一性，而我關(guān)心的是解的穩(wěn)定性呢，手頭緊，先給出點分再說，期待繼續(xù) 2014-07-05 16:06:20
tang_zm: 金幣+15, ★有幫助, 感謝哈，看得不是很明白，感覺你說到的是解的存在性和唯一性，而我關(guān)心的是解的穩(wěn)定性呢，手頭緊，先給出點分再說，期待繼續(xù) 2014-07-05 16:06:20
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沒做過調(diào)查，但是可以談?wù)勏敕ǖ?br />
如果積分域有界，這個積分算子就是全連續(xù)的線性算子，有些也叫緊算子，看作者自己的定義了。比如 C[a,b]->C[a,b]等。有一個Fredholm二擇一性。就是說第二類Fredholm方程表述為y=x-F（x），F(xiàn)就是積分算子。Fredholm二擇一性說要么x-F（x）有平凡解，要么對于所有y存在唯一可解。當(dāng)然Fredholm二擇一性是針對normed linear space。 進一步，考慮算子F（x）的譜問題，無窮維空間緊算子的本征譜要么是0，要么是有限集，要么是以0為聚點的無限集。 所以，可以猜測第二類Fredholm方程一旦可解，那解對參數(shù)的依賴應(yīng)該是連續(xù)的；不過一旦參數(shù)接近本征值點，數(shù)值求解，倒會產(chǎn)生數(shù)值上的不穩(wěn)定，接近奇異了。 如果積分域無界，需要額外施加無窮遠的等度衰減性質(zhì)。關(guān)于這類積分算子成為緊算子的條件需要查查資料了。  |
8樓2014-07-05 10:37:49
nagami
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“Fredholm二擇一性說要么x-F（x）有非平凡解，要么對于所有y存在唯一可解” 要不整理下：第二類Fredholm積分方程有個參數(shù)lambda，如果積分域是有界的。積分核連續(xù)的，那么一致連續(xù)且有界，平方可積是明顯的。那在Hilbert空間中討論，比如平方可積函數(shù)空間L2（可分的），這是緊線性算子。比連續(xù)函數(shù)空間討論復(fù)雜點。但估計是沒錯的。 這樣，當(dāng)lambda小于某個正值（算子的范數(shù)），這樣的第二類Fredholm積分方程都存在唯一解，穩(wěn)定的。 lambda大于某個正值，在這個區(qū)域上，存在可數(shù)離散的lambda值，就是本征值問題求的那些值。當(dāng)lambda接近這些本征值，數(shù)值穩(wěn)定性會越來越差。不過所有可解的lambda值，應(yīng)該是個開集。這樣解具有連續(xù)依賴參數(shù)的特性。 |
9樓2014-07-05 11:40:12
tang_zm
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10樓2014-07-05 16:15:48
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