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tang_zm新蟲(chóng) (小有名氣)
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[求助]
Fredholm積分方程解的穩(wěn)定性 已有1人參與
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 第二類(lèi)Fredholm積分方程，是否存在解的不穩(wěn)定性問(wèn)題，該如何討論其解的穩(wěn)定性？相關(guān)文獻(xiàn)？謝謝��！ |
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nagami
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數(shù)學(xué)上微分方程的有個(gè)適定性問(wèn)題，指輸入條件，比如初始條件，或者非齊次項(xiàng)。穩(wěn)定性指當(dāng)這些條件有微小的擾動(dòng)，解偏離程度也是小的。 比如以電磁場(chǎng)為例子，你解一個(gè)圓形區(qū)域的二維helmholtz方程， （-Δ+k2）u=f，其中，k是常數(shù)，邊界處u為Dirichlet條件，比如g=0。要問(wèn)當(dāng)f有微小變動(dòng)δf，邊界值g有擾動(dòng)δg時(shí)，解f是否能得到控制，比如這樣 ||u||≤const*（||δf||+||δg||）。 按照上面提到的想法。你需要解對(duì)應(yīng)的本征值問(wèn)題（-Δ+λ）u=0，一般λ是可數(shù)的且逐漸變大到無(wú)窮，比如說(shuō)0<λ1<λ2<...。 因此呢對(duì)于上頭（-Δ+k2）u=f的問(wèn)題，除了k2等于本征值點(diǎn)意外的所有k，皆可解且唯一，解滿足||u||≤const*（||δf||+||δg||）。 當(dāng)你的k接近本征值點(diǎn)時(shí)，這個(gè)const變得很大，導(dǎo)致輸入的邊界精度看似很高，解的誤差可能仍很大。就是數(shù)值上的不穩(wěn)定。但理論是穩(wěn)定的吧。 其實(shí)這個(gè)PDE問(wèn)題等價(jià)于第二類(lèi)Fredholm積分方程問(wèn)題，你用Green函數(shù)可表述出來(lái)。 還有以上都是個(gè)人臆斷，參考下即可。文獻(xiàn)倒沒(méi)有 |
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tang_zm
11樓2014-07-05 16:37:38
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3樓2014-06-27 09:04:15
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我是純粹外行, google了一下 " stability of solution of fredholm integral equation of the second kind ", 文獻(xiàn)鋪天蓋地的, 比如, www.math.uiowa.edu/~atkinson/ftp/Fie_paper.pdf Matlab算法的 http://homepage.math.uiowa.edu/~atkinson/ftp/Fie_paper.pdf 不過(guò)沒(méi)有看到討論解的穩(wěn)定性的(起碼題目沒(méi)有專門(mén)指出穩(wěn)定性研究). 樓主可以自己用百度試試, 或者直接寫(xiě)信問(wèn)這方向的數(shù)學(xué)界大牛吧(問(wèn)導(dǎo)師要個(gè)名單,挨個(gè)聯(lián)系) |
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5樓2014-07-01 02:46:49
tang_zm
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6樓2014-07-01 14:59:34
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7樓2014-07-05 09:55:08
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【答案】應(yīng)助回帖
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tang_zm: 金幣+15, ★有幫助, 感謝哈，看得不是很明白，感覺(jué)你說(shuō)到的是解的存在性和唯一性，而我關(guān)心的是解的穩(wěn)定性呢，手頭緊，先給出點(diǎn)分再說(shuō)，期待繼續(xù) 2014-07-05 16:06:20
tang_zm: 金幣+15, ★有幫助, 感謝哈，看得不是很明白，感覺(jué)你說(shuō)到的是解的存在性和唯一性，而我關(guān)心的是解的穩(wěn)定性呢，手頭緊，先給出點(diǎn)分再說(shuō)，期待繼續(xù) 2014-07-05 16:06:20
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沒(méi)做過(guò)調(diào)查，但是可以談?wù)勏敕ǖ?br />
如果積分域有界，這個(gè)積分算子就是全連續(xù)的線性算子，有些也叫緊算子，看作者自己的定義了。比如 C[a,b]->C[a,b]等。有一個(gè)Fredholm二擇一性。就是說(shuō)第二類(lèi)Fredholm方程表述為y=x-F（x），F(xiàn)就是積分算子。Fredholm二擇一性說(shuō)要么x-F（x）有平凡解，要么對(duì)于所有y存在唯一可解。當(dāng)然Fredholm二擇一性是針對(duì)normed linear space。 進(jìn)一步，考慮算子F（x）的譜問(wèn)題，無(wú)窮維空間緊算子的本征譜要么是0，要么是有限集，要么是以0為聚點(diǎn)的無(wú)限集。 所以，可以猜測(cè)第二類(lèi)Fredholm方程一旦可解，那解對(duì)參數(shù)的依賴應(yīng)該是連續(xù)的；不過(guò)一旦參數(shù)接近本征值點(diǎn)，數(shù)值求解，倒會(huì)產(chǎn)生數(shù)值上的不穩(wěn)定，接近奇異了。 如果積分域無(wú)界，需要額外施加無(wú)窮遠(yuǎn)的等度衰減性質(zhì)。關(guān)于這類(lèi)積分算子成為緊算子的條件需要查查資料了。  |
8樓2014-07-05 10:37:49
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“Fredholm二擇一性說(shuō)要么x-F（x）有非平凡解，要么對(duì)于所有y存在唯一可解” 要不整理下：第二類(lèi)Fredholm積分方程有個(gè)參數(shù)lambda，如果積分域是有界的。積分核連續(xù)的，那么一致連續(xù)且有界，平方可積是明顯的。那在Hilbert空間中討論，比如平方可積函數(shù)空間L2（可分的），這是緊線性算子。比連續(xù)函數(shù)空間討論復(fù)雜點(diǎn)。但估計(jì)是沒(méi)錯(cuò)的。 這樣，當(dāng)lambda小于某個(gè)正值（算子的范數(shù)），這樣的第二類(lèi)Fredholm積分方程都存在唯一解，穩(wěn)定的。 lambda大于某個(gè)正值，在這個(gè)區(qū)域上，存在可數(shù)離散的lambda值，就是本征值問(wèn)題求的那些值。當(dāng)lambda接近這些本征值，數(shù)值穩(wěn)定性會(huì)越來(lái)越差。不過(guò)所有可解的lambda值，應(yīng)該是個(gè)開(kāi)集。這樣解具有連續(xù)依賴參數(shù)的特性。 |
9樓2014-07-05 11:40:12
tang_zm
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10樓2014-07-05 16:15:48
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