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十點(diǎn)鐘的咖啡

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[求助] iteration method for density equations_help_me 已有2人參與

hi there; I need some help with the following formulas
In the interaction picture.

$\fraci2xskwf{dt}\rho(t)=\frac{1}{i\hbar}[V(t),\rho(t)]$ (1)

Then

$\rho(t+\Delta t) = \rho(t)+\frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt' [V(t'),\rho(t')]$ (2)

This equation can be iterated. and it is

$\Delta \rho(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_t^{t+\Delta t} dt' [V(t'),\rho(t')]+(\frac{1}{i\hbar})^2 \int_t^{t+\Delta t} dt' \int_t^{t'}dt''[\underbrace{V(t'),[V(t'')}_{Note\;t'\;and\;t''},\rho(t'')]]$ (3)

$\Delta \rho(t) = \rho(t+\Delta t) - \rho(t)$

I can understand the eq.(2), but not the eq. (3).
Is anybody know how to get the equation (3). and why do we want to do such calculation?

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1樓 2014-06-27 14:01:39

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★
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十點(diǎn)鐘的咖啡: 金幣+1 2014-06-27 14:50:51

What your aim is to solve equation 1.
However, the statement in eq.2 and eq3 is only the method using Euler's formula. The precision of this method is the order of h^3 (h is the step).
In many cases, the h^3 precision is not sufficient for meeting your expectation.
In my opinion, it's better to use the Runge-Kutta method or use some software such as Matlab or Mathematica

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2樓2014-06-27 14:27:15

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引用回帖:

2樓: Originally posted by mshwangg at 2014-06-27 14:27:15
What your aim is to solve equation 1.
However, the statement in eq.2 and eq3 is only the method using Euler's formula. The precision of this method is the order of h^3 (h is the step).
In many case ...

My equations are about the numerical solution. I just do not get the analytic solution (3). How can we derive the eq.(3) for (1) and (2)?

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3樓2014-06-27 14:48:47

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引用回帖:

This is not the Euler's method. There is always a fact of (1/2!) when we use the second order Euler' method.

and when I try to get the second derivative of the density operator. I get:

$\frac{d^2}{dt^2}\rho(t)=(\frac{1}{i\hbar})^2([\frac{dV(t)}{dt}, \rho(t)]+[V(t),\frac{d \rho(t)}{dt}])$

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4樓2014-06-27 15:00:09

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十點(diǎn)鐘的咖啡: 回帖置頂 2014-06-29 13:40:24

把Eq.2中t+\Delta t 換成t', t'標(biāo)記成t''
這樣就得到\rho(t')的積分表達(dá)式
把這1表達(dá)式代入Eq.2中的右邊就得到3項(xiàng)
第一項(xiàng)移左邊第三項(xiàng)交換下積分和[]次序就得到eq.3

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5樓2014-06-27 20:58:31

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這樣做的目的上面已經(jīng)解釋了
在有限的\Delta 時(shí) 更精確....

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6樓2014-06-27 21:01:35

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

3樓: Originally posted by 十點(diǎn)鐘的咖啡 at 2014-06-27 14:48:47
My equations are about the numerical solution. I just do not get the analytic solution (3). How can we derive the eq.(3) for (1) and (2)?...

推導(dǎo)過(guò)程walk已經(jīng)回答了。
然而，實(shí)在不懂你為何執(zhí)著于這個(gè)方法。這個(gè)方法（Eq3）比歐拉方法（Eq2）多了一項(xiàng)。同意walk的說(shuō)法，有限的Delta時(shí)，提高精度。也就是變種的歐拉方法。精度大約提高一到兩個(gè)數(shù)量級(jí)。
既然要做數(shù)值，看樣子要自己寫code了，如果真按照Eq3寫code，積分是一個(gè)大麻煩，計(jì)算慢不說(shuō)，精度也不高。
估計(jì)4階RK在速度和精度上都完爆這個(gè)方法。
一家之言

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7樓2014-06-27 22:12:41

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引用回帖:

7樓: Originally posted by mshwangg at 2014-06-27 22:12:41
推導(dǎo)過(guò)程walk已經(jīng)回答了。
然而，實(shí)在不懂你為何執(zhí)著于這個(gè)方法。這個(gè)方法（Eq3）比歐拉方法（Eq2）多了一項(xiàng)。同意walk的說(shuō)法，有限的Delta時(shí)，提高精度。也就是變種的歐拉方法。精度大約提高一到兩個(gè)數(shù)量級(jí)。
既 ...

數(shù)值計(jì)算上
積分方法我想在多自變量時(shí)候可能會(huì)更有效率些
現(xiàn)在eq.2,3只有1個(gè)自變量t
如果是多自變量偏微分的話不知道會(huì)是什么情況
可能硬解eq.1的效率不如2和3
尤其是偏微分方程中帶本征譜的情況
--- 個(gè)人猜測(cè) 沒(méi)實(shí)踐過(guò)

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8樓2014-06-27 22:24:54

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引用回帖:

8樓: Originally posted by walk1997 at 2014-06-27 22:24:54
數(shù)值計(jì)算上
積分方法我想在多自變量時(shí)候可能會(huì)更有效率些
現(xiàn)在eq.2,3只有1個(gè)自變量t
如果是多自變量偏微分的話不知道會(huì)是什么情況
可能硬解eq.1的效率不如2和3
尤其是偏微分方程中帶本征譜的情況
--- 個(gè)人 ...

自變量只有一個(gè)t沒(méi)錯(cuò)。
如果沒(méi)料錯(cuò)的話，\rho是density operator。大約會(huì)有數(shù)個(gè)、數(shù)十個(gè)，或者數(shù)百個(gè)
確定這樣的方程，積分更好嗎？我覺(jué)得積分恐怖啊

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9樓2014-06-28 00:29:21

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引用回帖:

9樓: Originally posted by mshwangg at 2014-06-28 00:29:21
自變量只有一個(gè)t沒(méi)錯(cuò)。
如果沒(méi)料錯(cuò)的話，\rho是density operator。大約會(huì)有數(shù)個(gè)、數(shù)十個(gè)，或者數(shù)百個(gè)
確定這樣的方程，積分更好嗎？我覺(jué)得積分恐怖啊...

不確定因?yàn)槲乙矝](méi)實(shí)踐過(guò)
你可以動(dòng)手試試

（1，2維的解起來(lái)應(yīng)該效率還好）
我猜測(cè)：
后者也選用合適的基展開(kāi)的話  使積分能解析解出來(lái)
這樣  就只需要做矩陣對(duì)角化之類的工作了

另外我感覺(jué) 任何的微分都可以化成積分形式
（絕大部分吧或者化為泛函的極值問(wèn)題）
但積分方程不一定能化為微分方程  這樣普遍些 -- 個(gè)人感覺(jué) 可能不準(zhǔn)確

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10樓2014-06-28 05:27:17

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