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簡(jiǎn)單測(cè)度理論入門（適合初學(xué)者）
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第二章 測(cè)度論 引言 實(shí)變函數(shù)論的核心問(wèn)題是對(duì)讀者在數(shù)學(xué)分析中已學(xué)過(guò)的黎曼（Riemann）積分進(jìn)行推廣，而建立一種應(yīng)用范圍更廣，使用起來(lái)更靈活、便利的新的積分理論即Lebesgue積分理論. 數(shù)學(xué)分析中Riemann積分基本上是處理幾乎連續(xù)的函數(shù)，但隨著理論的發(fā)展，Riemann積分理論的缺陷變得愈來(lái)愈明顯，主要表面在以下兩個(gè)方面：一方面是對(duì)被積函數(shù)的連續(xù)性要求太強(qiáng)，以致于著名的Dirichlet函數(shù)這樣一種非常簡(jiǎn)單的函數(shù)都不可積；另一方面是應(yīng)用起來(lái)有很大的局限性，這種局限性突出表現(xiàn)在可積函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分，以及可積函數(shù)列的積分與極限的可交換性方面，一般要求函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要具有一致收斂性，而這一要求在實(shí)際問(wèn)題中常常得不到滿足，或雖然滿足要想驗(yàn)證又非常的繁復(fù)，因此，無(wú)論在理論方面還是在實(shí)際應(yīng)用方面改進(jìn)Riemann積分的定義使之適用更廣泛的函數(shù)類是很有必要的. 通常對(duì)Riemann積分的改進(jìn)可從兩方面著手，一方面是對(duì)積分范圍劃分的改進(jìn)。在Riemann積分中，對(duì)積分范圍的劃分一般是采用通常意義下的“有面積”或“有體積”劃分，即把積分范圍劃分成在通常意義下“有面積或體積”的小塊. 這種劃分的方法無(wú)法控制在每個(gè)小塊上函數(shù)值的變化幅度以致于Dirichlet函數(shù)不可積. 所以有必要對(duì)“有面積或體積”劃分的含義進(jìn)行擴(kuò)充，即對(duì)通常意義下的“有面積或體積”的集合進(jìn)行擴(kuò)充，使之適合于更廣的一類集合，由此便產(chǎn)生了本章要介紹的集合的測(cè)度；另一方面是對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行改進(jìn). Riemann積分中的被積函數(shù)對(duì)連續(xù)的要求很苛刻，以致于函數(shù)的連續(xù)性稍微不好，就會(huì)導(dǎo)致函數(shù)不可積. 所以有必要對(duì)被積函數(shù)在已有的測(cè)度的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)充，使之適合于更廣的一類函數(shù)，由此產(chǎn)生了第三章要介紹的可測(cè)函數(shù). 本章主要介紹集合的Lebesgue測(cè)度，它是通常意義下“面積或體積”概念的一種推廣（即能保持通常意義下“體（面）積”的特性：①非負(fù)性；②當(dāng)集合為區(qū)間時(shí)，其測(cè)度即為區(qū)間的體積；③完全可加性即當(dāng){ }為一列互不相交的有測(cè)度的集合時(shí)， 的測(cè)度恰好為每個(gè)集的測(cè)度之和）. |
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