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Edstrayer

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設(shè)p是奇素?cái)?shù)，試證：

$\sum\limits_{n=1}^{p-1}n^{2p-1}\equiv\frac{p(p+1)}{2}(modp^2)$

[ Last edited by feixiaolin on 2014-7-30 at 19:11 ]

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1樓 2014-07-01 03:15:18

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hank612

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feixiaolin: 金幣+3, 數(shù)學(xué)EPI+1 2014-07-30 12:20:06

因?yàn)? $(p-a)^{2p-1}+a^{2p-1} (mod p^2)=(2p-1)\cdot p \cdot a^{2(p-1}} (mod p^2)= -p (mod p^2)$ ,
所以 $\sum_{n=1}^{p-1} n^{2p-1} =-p\cdot \frac{p-1}{2} (mod p^2) =\frac{p(p+1)}{2} (mod p^2)$
其中借助了Newton 二項(xiàng)式展開(略去p^2及更高次項(xiàng))和關(guān)于素?cái)?shù)的Wilson定理 $a^{p-1}=1 (mod p)$

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We_must_know. We_will_know.

3樓2014-07-30 11:56:40

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Edstrayer

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好題目，頂一個

回復(fù)此樓

青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

2樓2014-07-30 04:18:32

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leexzy2012

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請你為我再將雙手舞動

4樓2014-07-31 09:35:21

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