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hylpy專家顧問 (知名作家)
唵嘛呢叭咪吽
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[轉(zhuǎn)載]一個老貼:一個局外人看北大數(shù)學(xué)考研初試及數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)方法--SCIbird 已有11人參與
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一個局外人看北大數(shù)學(xué)考研初試及數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)方法--SCIbird 我印象中這篇文章是SCIbird在老論壇關(guān)閉，新論壇開始運(yùn)行時發(fā)在老論壇上的 隨著老論壇的關(guān)閉這篇文章也看不到了 很多人問我怎么考北大，我基本向他們推薦這篇文章。 為了省去一些麻煩，重新發(fā)在此處，希望SCIbird不要介意（希望我沒有拼錯名字） 一個局外人看北大數(shù)學(xué)考研初試 論壇上一些朋友私底下給我發(fā)過消息，其中不乏有報(bào)考北大的朋友，請我介紹下自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的經(jīng)驗(yàn)。這大概與我在論壇上發(fā)過08北大數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)and解析幾何的解答有關(guān)吧，加之我還算回答了一些問題直接或間接幫助過一些人吧。 但一個人的精力總是有限的，身在研二本身又不是數(shù)學(xué)系的我現(xiàn)在是沒有太多的時間來回答所有人的問題，所有只能回絕一些熱心朋友周末想向我咨詢的請求。這大概就是生活吧。 另一方面，考慮到受之與魚，不如授之與漁這個道理。我決定把自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和一些心得拿出來與大家分享，這樣可能會有更多的人從中受益。我打算寫的細(xì)致一些，以免使人感到過于官腔和空泛。計(jì)劃分兩貼，一帖短的介紹下我對北大初試備考的一些看法， 另一帖長的，詳細(xì)介紹下我的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和一些心得，將以連載的方式陸續(xù)登出。下面是第一篇 北大初試怎樣備考，我之所見。 這篇文章絕對是論壇上第一篇非親身經(jīng)歷北大數(shù)院初試考試的人寫的經(jīng)驗(yàn)�？炊嗔擞H身過來人的現(xiàn)身說法，再看看我這外行人的 文章，可能會有其他的收獲。其實(shí)我關(guān)注北大近4年試題（論壇上都有了）有一年了吧，除去沒親身考過外，也算半個資深人士了。 加之確實(shí)按三小時一科自己�？歼^08北大真題，成績?nèi)缦拢?br /> 政治應(yīng)該有60分，英語約60分，4月份做的數(shù)分，大約是120分，最近十一期間做的高代和解幾，約120分。 政治 英語 數(shù)學(xué)分析 高等代數(shù)與解析幾何 60 60 120 120 考慮到實(shí)戰(zhàn)環(huán)境（緊張）可能影響發(fā)揮，因此減去10分。這樣350分，應(yīng)該比較符合實(shí)際情況。所以你可以把我視作08年考北大基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向的350分等級水平選手寫的經(jīng)驗(yàn)談。所以這篇文章適合350以下的考北大數(shù)院的朋友們看的。 好！言歸正傳，先從思想上解決一個問題。 （1）“考北大難不難？” 很多人問過這個問題，有人說難，也有人說不難。事實(shí)上，在清華北大你會發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，考上的人尤其是第一次就考上的，他們 多半說“不難”。而沒考上的，多半會說“難”。這其實(shí)是一個“小馬過河”問題。你不能說某個人觀點(diǎn)對，其他人觀點(diǎn)錯。難本來 就是相對的，而咨詢者的困難之處在于無法找到一把與自己相近的“尺子”。 對于此問題，按本人觀點(diǎn)，你可以從如下方面考慮自己（適合基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向） 1. 你是否真的熱愛數(shù)學(xué)，而不是僅僅為了就業(yè)。如果你不真的喜歡數(shù)學(xué)，那么我建議你不要報(bào)考北大數(shù)院； 2. 你是否有一定的自我控制力和毅力。數(shù)學(xué)到了研究生水平數(shù)學(xué)已經(jīng)不僅僅是技巧的事了，搞數(shù)學(xué)不是意志薄弱者的游戲； 3. 是否擅長數(shù)學(xué)。不用要求自己數(shù)學(xué)天賦有多高，但至少要相對其他科目有一定優(yōu)勢； 4. 論壇上不是有北大真題嗎，試做一下。當(dāng)時受打擊不要緊，關(guān)鍵要判斷出自己是否有潛力，比如我現(xiàn)在做不出，但6個月后有信心做出。那就大膽的報(bào)，人的水平總是慢慢提高的，高手也不是天生的。 （2）北大的專業(yè)課難嗎？與XX大學(xué)的題相比難多少？ 說北大的題難，那謝惠民的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》里類似難度的題一堆，對于做過那套書的牛人可能就沒啥感覺了，都一樣。說簡單吧，看專業(yè)課成績慘不忍睹。 在這里講一個真事，大概是07年5月吧，我在論壇上第一次看到07北大數(shù)分題，當(dāng)時有五道題讀不懂，那套題看起來很難。加之當(dāng)年論壇上一堆考砸了的人一忽悠，類似于“今年的題太難了，我連及格都困難”之類的話非常多。于是我對07北大的題驚為天書，趕緊下載下來，仔細(xì)保存供奉起來。不過現(xiàn)在看來，似乎也沒那么難。這里不是說SCIbird耍大牌兒，顯示自己有水平，是說：只要努力，人總是變化的，事隔一年可能會有實(shí)質(zhì)性的變化。我相信第二年考上北大的人群中肯定有這樣想的人“考北大也不難啊，我當(dāng)年怎么就……”。 要說08年北大專業(yè)課哪個更難，我覺得高代更難，因?yàn)槲易?8北大高代題比做數(shù)分題費(fèi)盡多了�。ǹ紨�(shù)院的很多人看了估計(jì)會吐血吧） 這也說明難度還與自己擅長的內(nèi)容有關(guān)，因?yàn)槲冶救吮容^擅長微積分，所以做北大數(shù)分比高代輕松（雖然當(dāng)事人一致認(rèn)為08北大數(shù)分比高代難）。如果你運(yùn)氣比較背，考的都是你不擅長的，那你就慘了。因此，全面提升自己才是硬道理！ 至于北大專業(yè)課的難度，高代不敢說，但就數(shù)分來講比論壇上其他高校的數(shù)分題難多了。但難多少就不好說，比如我做過08北大的題，但不一定做過XX大學(xué)的題，即使都做過也不好概括難度差距。2.5倍？怎么算出來的？你只知道，沒兩下子不敢報(bào)北大，即使這樣，專業(yè)課考的也很慘，由此大概對其難度有個印象。 （3）北大初試如何復(fù)習(xí)數(shù)分和高代？（只針對350分以下級別的選手提出參考建議） 考研時間還是比較緊張的，對自己要有規(guī)劃。首先是裝備，想學(xué)好一門課不能只有一本教材。至于教材，高手之間的意見還不統(tǒng)一，更何況一般人。我個人比較喜歡張筑生老師的《數(shù)學(xué)分析新講》和南開李成章編著的《數(shù)學(xué)分析》。前者語言通俗，富有啟發(fā)性，我在論壇發(fā)的試題解答中不少思想來自此書。新講尤其收錄了一些經(jīng)典定理（如不動點(diǎn)定理）的證明，值得揣摩。但新講的單元微積分部分寫的單薄了些，而南開那本書上正好彌補(bǔ)了這一塊內(nèi)容。這里再說點(diǎn)考研之外的話，想提高數(shù)分水平一定要啃一本名著的，我個人推薦菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》，一句話，這是一本集古典微積分之大成之作的絕對牛書！當(dāng)然如果時間緊張的話，還是以教材為主。有些人不愛看定理的證明，認(rèn)為考試基本不會考的。這種看法有片面性，誠然，考定理的幾率很小。但有這種可能，即某道題的證明方法和某個定理本質(zhì)上是一樣的，或者有相似之處。比如我解決08北大數(shù)分最后一題的靈感來自新講中對Riemann引理的證明，在那個定理證明思路的基礎(chǔ)上稍微變通一下就把北大這題OK了！學(xué)會從相似之中看出相似，這是數(shù)學(xué)中的一門功夫。 第二篇 再次聲明:下面的建議是針對350級別以下的考生,不對高分選手做要求) 在說說練習(xí)冊吧. 事實(shí)上,練習(xí)冊是你上戰(zhàn)場的武器,其對勝負(fù)的影響還是很大的. 目前數(shù)分的練習(xí)冊很多,但我個人認(rèn)為報(bào)考北大的人,有兩本練習(xí)冊應(yīng)該必看.一本是大家非常熟悉的裴禮文的<數(shù)學(xué)分析典型問題與方法>(第二版), 另一本是謝惠民等合編的<數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義>.這兩本書都是高教出版的,應(yīng)該容易找到.下面說下推薦理由: 裴禮文的書寫的算是很詳細(xì)的習(xí)題集了,尤其里面也收錄了不少一般教材看不到的定理.比如08北大數(shù)分中有兩個題用到了比較深的定理(深是相對的),一個是第7題的積分號下取極限定理,另一個是第9題的Riemann-Lebesgue引理.坦白說,這兩個定理裴禮文的書上都有,而且一旦你知道了這個定理,那第7,9題立刻降低為中檔題,剩下的事就容易多了.說到這里再多說幾句,如果你不知道上面的兩個定理,那么原題難度將急劇增加,如果你之前沒看過證明而現(xiàn)推的話,不論時間還是難度都將使你舉步為艱.這告訴了我們一件事,考北大不僅僅是技術(shù)(或技巧)的事,你還要見多識廣(多知道些定理),畢竟北大對考生水平要求很高(看試題難度就看出來了) .無獨(dú)有偶,08北大高代第7題正交變換那題,需要用到正交變換在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)型,知道了標(biāo)準(zhǔn)型再觀察到其準(zhǔn)對角線上的二階矩陣幾何意義是旋轉(zhuǎn),那么本題基本就OK了!但若你不知道正交變換在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)型定理(有些書上確實(shí)沒有),那么我覺得就比較懸了.至少我目前沒看到其他方法.自己大致考察了下北大07,08北大的數(shù)分試題,我的結(jié)論是其考察的知識范圍沒有超出裴禮文的書. 事實(shí)上,論壇許多考上了數(shù)院的人介紹自己復(fù)習(xí)資料時也提到了這本書.也許有的朋友說了"裴禮文的書我看了很多遍了,可做北大的題還是不會".這實(shí)際涉及到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法問題, 有關(guān)內(nèi)容將在第三篇論述. 裴禮文的書寫的詳細(xì),性價比高. 如果覺得不夠,我再推薦一本數(shù)分習(xí)題集中的九陽神功------<數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義>(謝惠民等合編).此書給我有相見恨晚的感覺. 事實(shí)上今年4月份我在做08北大數(shù)分真題時,手里只有裴禮文的書(兩月前剛在校內(nèi)買的二手書).后來與zhaobin交流時,他向我推薦<數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義>. 好在清華的書還算很全,我很快在書店買到了.買完后回到寢室仔細(xì)翻看,一種相見恨晚的感覺無形中飄出來.我甚至覺的,如果我早一年看到此書,我的數(shù)分水平會比現(xiàn)在高不少. 說到<數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義>(以下簡稱講義)這本書,網(wǎng)上有許多負(fù)面評價,諸如:沒答案,巨難無比,課后題太bt了,提示太抽象了. 那只是從應(yīng)試角度來評價的,有失公平. 關(guān)鍵在于你如何看待這本書, 我個人看法是這樣的. 1.首先我把她當(dāng)做一本數(shù)分字典.事實(shí)上該書收錄了數(shù)分中許多深刻的定理,諸如Riemann-Lebesgue引理這樣的定理在此書中很多的.我們在解決問題時可能會遇到這樣的情況,在證明某個結(jié)論R時要用到結(jié)論P(yáng)(你只是感覺P應(yīng)該對,但不知道有沒有這個定理or推論),你被P卡住了.于是你可以查查"講義",沒準(zhǔn)就能找到你需要的結(jié)論.然后由P推出R就自然了. 2.我之所以推崇這本書是因?yàn)樗膮⒖紩玁B了!很少有習(xí)題集列出參考文獻(xiàn)的,更難得的是參考文獻(xiàn)是很NB的書(但由于年代或其它的原因,不容易找到).謝惠民的書收集了這些書的精華部分(當(dāng)然不可能是全部),整理出了"講義",可以說是功德無量. 3.關(guān)于答案. 有一個很有趣的現(xiàn)象,不少頂尖高手or牛人一般都不喜歡看答案,他們更喜歡自己寫答案.在一些人看來,一旦你未經(jīng)思考就看到答案,那么這題就沒意思了."講義"也許更對牛人胃口,實(shí)際上北大的CMO金牌得主做"講義"里的題也頭大.但可能因?yàn)榕Ｈ硕枷矚g挑戰(zhàn)吧,他們反到更推崇此書. 我個人覺得謝的書沒答案也不是壞事,很明顯謝的書并不是給考研的人寫的(因?yàn)楹苌儆袑W(xué)校的考題像北大這么難的).此書是用來提高自身數(shù)分水平的,我稱之為數(shù)分中的九陽神功.既然是神功,那不是朝夕之間就能練成的.像我把這本書放在枕邊,每天翻一點(diǎn),慢慢看唄. 4.這么難的書對考北大的人有沒有用? 我的答案是有用! 這到不是說逼著你硬著頭皮做此書,畢竟考北大的人中能達(dá)到同zhaobin在一個水平線上的人不多. 我不是說了嗎,考北大要見多識廣,多知道些定理結(jié)論.在我看來有的定理你可以不知道證明過程,但一定要知道這個定理(想想第9題的Riemann-Lebesgue引理).把<數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義>上的定理背下來還是能做到吧.其實(shí)這本書不僅僅是習(xí)題集,她按類把數(shù)分梳理開,分的很細(xì)致,結(jié)構(gòu)也很清晰,可以作為數(shù)分綱領(lǐng).每一章用簡要的筆墨概括下大致內(nèi)容,再配上適當(dāng)?shù)睦},還有課后習(xí)題.事實(shí)上我個人建議,此書是應(yīng)當(dāng)珍藏的,尤其是喜歡數(shù)分的人. 選好了練習(xí)冊后,接下來就是做題了.學(xué)數(shù)分如學(xué)游泳,光有理論而不下水是學(xué)不會游泳的.做題千萬不要先看答案,否則你考場上可能還不會.對于好題要舍得花時間(考北大不是靠題海堆出來的),尤其是北大的歷年真題,我覺得想上兩三天都不為過.實(shí)在想不出來再上論壇上詢問.北大這幾年似乎前幾題會考下基本定理,建議對證明不太長的定理還是多動手推一推. 第三篇 還接著上次的數(shù)分書說吧, 我推薦<數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義>時,確實(shí)帶有個人傾向.不過誰寫經(jīng)驗(yàn)談時又不帶主觀色彩呢? 至少我覺得看"講義"是慢功出細(xì)活兒, 這本書整理的知識點(diǎn)已經(jīng)算是從古典角度看微積分的大乘之作了.至于她不是最新的,在我看來并不是最重要的.理由有三: 1.如果你不是一個天賦異稟的人, 那么我覺得你還是扎扎實(shí)實(shí)的打基礎(chǔ),一步一個腳印,逐漸從古典微積分過渡到現(xiàn)代觀點(diǎn).雖然這個過程可能比較長一些,但確實(shí)是多數(shù)人走的正常道路,而且從長遠(yuǎn)看也許好處更多(頂尖高手不在討論之內(nèi)). 2.觀點(diǎn)越新,工具用的越新不代表對問題理解的越深刻.拋棄本源而大躍進(jìn)搬的趕時髦,刻意求新的話,對天賦一般的人弊端更大.我個人始終認(rèn)為,對一個數(shù)學(xué)問題的深刻理解需要時間,而不僅僅是概念和工具新不新的事情. 3.是新的東西都好嗎?舊的都不好嗎? 它們之間有沒有清晰的界限? 這是個很難說的問題,而且還是個歷史問題.從數(shù)學(xué)史看,曾經(jīng)有些當(dāng)時很新很時髦的東西,也火了一陣兒,但最終卻被歷史篩除了出去而沒有流傳下來.任何數(shù)學(xué)理論的價值都要經(jīng)受歷史的考驗(yàn)的,雖然這很殘酷. 再補(bǔ)充幾句:裴禮文那本習(xí)題集是報(bào)考北大的最低要求,無論如何先要把那本書吃透,這是根本.至于"講義"要不要看,還是視自身情況很難,我之前第二篇說的有些太絕對了.另外,.裴禮文那本習(xí)題集難度還是蠻大的,我所知道的高中聯(lián)賽一等獎和CMO金牌得主中,有些人承認(rèn)自己做這本書覺得很難,有些題確實(shí)不會.所以認(rèn)真做這本書還是收獲不小的,而且此書算是詳細(xì)介紹了數(shù)分中一些基本技巧,不善用技巧的人可以多揣摩揣摩. 切忌:不要輕易看提示, 你每看一次提示就浪費(fèi)一次獨(dú)立思考的好機(jī)會. 說完數(shù)分,順帶說一下高代.這次完全是站在一個初學(xué)者的角度談的(我三個月前剛看的高代,邊看奧運(yùn)邊自學(xué)),可能不如談數(shù)分那樣高談闊論, 但也許說的更實(shí)在. 以前自己只能做北大數(shù)分題,高代不懂(現(xiàn)在仍有很多地方不太理解),總感覺像是吃飯吃半飽.于是覺得自己該自學(xué)下高代.大概是6or7月份,開始動手看書了.自己以前只學(xué)過工科線代(以二次型為分界線),而且當(dāng)初學(xué)的有如夢魘一般.一致我一看到高代就頭大, 但我知道一個人要想提高數(shù)學(xué)水平必須要全面提升自己,于是硬著頭皮看了.可能是自己的思維確實(shí)不擅長線性代數(shù)吧,加之是自學(xué),效率很低下,信心也不足. 當(dāng)時,從06年和08年北大高代里挑了幾道"我認(rèn)為難的"題,發(fā)帖詢問了一下. 結(jié)果,得到了類似"這題不難",然后就沒下文的空話回帖. 尤其是回帖者還是算是論壇有點(diǎn)水平的人(在論壇上泡一段時間,對誰有水平會有一個大致的認(rèn)識),類似"這題不難"的空話帖子,以前不是沒見過,但倘若不是發(fā)生在自己身上恐怕不會有這么強(qiáng)烈的反應(yīng). 我當(dāng)時感覺自尊心受到很強(qiáng)的挫折感,當(dāng)時甚至想吵一架.不過想想自己的高代水平確實(shí)不高,沒資格多說什么,底氣也不足. 加之論壇那一段時間討論問題風(fēng)氣也不太好,空話很多.一時意氣用事,甚至決定告別論壇.但也許是一個人在一個地方待了太久, 也結(jié)識了一些朋友, 不忍心真的告別. 于是決定換了"淡出"而暫時離開論壇. 在我看來, 上論壇詢問問題終究不是治本之策, 提升自己的實(shí)力才是王道! 遂決定閉關(guān),自修高代. 現(xiàn)在高代算是有所小成吧, 再看當(dāng)初問的幾道高代題,確實(shí)不是很難,但也不是很簡單吧.所謂言者無心,聽者有意.因此我一直呼吁論壇上的高手們(尤其是數(shù)學(xué)系的)回復(fù)帖子時,不要再出現(xiàn)"此題不難"這類空話,很容易打擊別人的積極性的.如果實(shí)在覺得簡單,那就別回帖了. 也許SCIbird在論壇這個范圍內(nèi)說過自己是個數(shù)分高手,或者以高手自居的話. 但SCIbird從來沒拿高手的身份回復(fù)類似"這題不難"而無后文的空話帖子.不論是現(xiàn)在,還是將來,我都會說同樣的話:"誰也不是天生的高手,一個人現(xiàn)在水平低不要緊,只要他肯用功努力去提高自己的水平,他就會有所改變,有所提高.對于常人,勤奮遠(yuǎn)比天分重要!" 最近兩三個月看了高代,說說我這個初學(xué)者的看法.我有4本高代書, 我個人還是比較喜歡藍(lán)以中和丘維聲的高代,前者寫的比較全面,觀點(diǎn)比較高,富有啟發(fā)性,后者通俗易懂. 不過課后題我沒做(以后再補(bǔ)上吧),但聽zhaobin和北大本科某CMO金牌得主推薦說藍(lán)以中的課后題質(zhì)量比較高,而且也不是很難. 練習(xí)冊,有一本書建議考北大必買,就是丘維聲編著的<高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書>.實(shí)際上北大06,07,08高代題都有此書上的原題,當(dāng)然這是后話. 不過,這本書的內(nèi)在質(zhì)量還是很高的,至少在我這個初學(xué)者來看,此書寫的細(xì)致而全面,試題挑選的很好. 當(dāng)時是在北大出版社買的,后來才發(fā)現(xiàn)竟然是清華大學(xué)出版社出版,白跑了那么遠(yuǎn),倒! 向北大出版社的人咨詢,答復(fù)說本書只有上冊,下冊還沒出版呢. 至于解析幾何,北大的四道題中至少有兩道是送分的,只需要勤動手就OK了! 尤承業(yè)那本解析幾何書上的題還行. 第四篇 關(guān)于如何提高自身數(shù)分水平.這是一個比較大的話題,數(shù)分給人的特點(diǎn)是多而雜, 好比一門武功,共9層,每層13招,每招又有24個變式,很難掌握. 但當(dāng)你的水平到了一定層次后,你會發(fā)現(xiàn)不同的招式之間是相通的,而且數(shù)分中基礎(chǔ)而本質(zhì)的東西,并不是像想象中那么多.這里我不打算陷入具體細(xì)節(jié)中,只想從整體角度談?wù)勛约旱男牡?但盡管這樣文章仍然很長.于是另外開了一帖,來談?wù)?quot;如何提高自身數(shù)學(xué)分析水平",以供參考. 第五篇 這里想談?wù)剶?shù)學(xué)精神方面.興趣,精神,意志等對于一個人數(shù)學(xué)水平影響是相當(dāng)大的.在我看來,一個人如果不喜歡數(shù)學(xué),那么他的數(shù)學(xué)水平是很難提高的.不論是考研,還是做數(shù)學(xué)研究,數(shù)學(xué)本身的吸引力才是根本動力!這也是高手與一般人的差距所在.而且說實(shí)話,我說的這些東西還真是只可意會,不可言傳的東西.非親身經(jīng)歷恐怕很難理解我的話的意思. 我所了解的數(shù)學(xué)高手一般都有一個特點(diǎn):堅(jiān)忍不拔的意志,不攻克問題誓不罷休.這有點(diǎn)像黑客精神,黑客常為攻克某個防御系統(tǒng)而連續(xù)奮戰(zhàn)幾天,數(shù)學(xué)高手也為攻克某個數(shù)學(xué)難題而思考數(shù)日.長久的持續(xù)思考能力是數(shù)學(xué)高手的一個代表性的特點(diǎn),而且這不是朝夕之間可以練成的,非每天站樁不能至也.不夸張的說北大考研成敗與否,一個人的態(tài)度很重要,不到最后時刻堅(jiān)決不放棄,勝不驕,敗不餒!成敗也許只在你不經(jīng)意的一念之間! 最后嘮叨兩句真題,北大06,07,08真題質(zhì)量相當(dāng)高,必須給予足夠的重視!我的建議是不看答案獨(dú)立思考三天,三天后想不出來再考慮看答案.北大的題是06年開始難度陡增的(看過北大02年的題,真不敢相信那是北大的題),論壇上缺03年,04年的題,不少朋友費(fèi)力去尋找這兩套題.我奉勸還是放棄吧, 考北大是考研而不是考古.05~08真題足夠了,物多必反,多拿出些時間看看書,打打基本功,才是王道!行家一身手便知有沒有,復(fù)試時很容易看出基本功的差距.過了初試不等于萬事OK了! 至于復(fù)試等后話, 論壇上有許多過來人獻(xiàn)身說法,如Gameibaby牛人等等,大家可以搜搜他們的文章. 最后再送給大家?guī)讞l建議: 1)低調(diào)行事,考研成功的低調(diào)者居多. 2)少一些抱怨,多干實(shí)事; 3)做事腳踏實(shí)地,勿以題易而不為,切忌眼高手低! 4)注重基礎(chǔ),盡量使自己有個寬泛的知識面. 5)注重不同章節(jié)和學(xué)科之間的聯(lián)系,不要局限于某一塊. 6)該放棄時就果斷放棄,當(dāng)斷不斷,其意自亂! 7)下定決心后,勇敢前進(jìn),凡事看者難,行者易! 如何提高自身數(shù)學(xué)分析水平？ 論壇上朋友們的請求,說說我自己的數(shù)分學(xué)習(xí)經(jīng)歷和心得,以供大家參考. 首先聲明:世上沒有萬能的方法,任何一種方法都有其局限性和適用范圍,所以對SCIbird 說的話要辯證的看,取其精華.類似的,如果你在某本書里看到類似"放之四海皆真理的話" 那么你基本可以考慮把這本書扔到垃圾桶里了. 正如題目所寫的,本文講述的是"如何提高自身數(shù)學(xué)分析水平"也就是說,本文是針對已經(jīng)學(xué)過數(shù)分,但苦于數(shù)分水平提高緩慢的朋友們的.一點(diǎn)個人心得,希望能給需要幫助的人指引下方向.說是對數(shù)分的,但其實(shí)對其它數(shù)學(xué)科目也有參考意義.只是我對分析比較熟悉,故舉的例子多是分析方面的. 首先,我們要端正一個態(tài)度,即對于一個定理或一個問題,我們不應(yīng)該用做考試題的態(tài)度來對待,而應(yīng)該用研究數(shù)學(xué)問題的態(tài)度來對待.盡量挖掘出新的東西,而不局限于問題中的結(jié)論本身.具體說來,如下: 研究問題,籠統(tǒng)說多是關(guān)于存在性,唯一性,條件充不充分,必不必要,有無充要條件等等. 這些泛泛的說法大家也許都知道,也有道理,不過就是不知道具體該怎樣做.下面我就詳細(xì)說下這些年自己的心得體會,以供參考. 1.以幾何直觀做啟發(fā),大膽想象,嚴(yán)密論證. 分析界目前有這種不好的傾向,認(rèn)為幾何直觀不嚴(yán)密,于是排斥幾何直觀而代之以抽象的分析論證,有的書上甚至一張圖都沒有.誠然,大學(xué)數(shù)學(xué)的一個特點(diǎn)是高度抽象性,而且?guī)缀沃庇^確實(shí)不能代替嚴(yán)密的證明.但一味的強(qiáng)調(diào)抽象性,容易迷失方向,尤其是初學(xué)者,往往一頭霧水,不知所云.其實(shí),幾何直觀對許多分析定理有啟發(fā)作用.很多定理可以從幾何直觀中觀察出來,加以提煉,最后嚴(yán)格證明而上升為定理.舉個例子:考慮費(fèi)馬引理,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0.幾何直觀上,一個可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的切線應(yīng)該是水平的,而且似乎不一定要求導(dǎo)函數(shù)連續(xù),然后通過分析嚴(yán)格證明我們的猜想. 但是,問題就結(jié)束了嗎? 我們能不能走的遠(yuǎn)點(diǎn),上面說可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0,那么我們可以問導(dǎo)數(shù)為0是否就是極值點(diǎn)?什么時候有極值點(diǎn)? 前一個問題是否定的,導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)未必就是極值點(diǎn). 至于后一個問題,條件可能不止一個.其中有一個比較特殊,我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值.而對于非常數(shù)函數(shù),如果最值在區(qū)間內(nèi)部取得,它也是極值,如果f可導(dǎo),則f'(x0)=0.于是我們轉(zhuǎn)到什么時候可以有內(nèi)部最值(也是極值).一個條件是非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的兩端點(diǎn)相等,則區(qū)間內(nèi)部必有最值點(diǎn),因而有內(nèi)點(diǎn)x0滿足f'(x0)=0,于是就有了羅爾定理.我們又問了,這個條件必要嗎?可以舉出反例,這說明羅爾定理的條件只是充分條件. 類似的幾何直觀還很多,比如把圖象旋轉(zhuǎn)一下,羅爾定理就變成了拉格朗日定理,如果用參數(shù)形式表示拉格朗日定理,則就變成了柯西定理.當(dāng)然,以上只是從幾何直觀做出的猜想,接下來必須嚴(yán)格的給予證明. 2.可以從多角度思考問題. 我們解決了一個好的問題后,不必立刻走開.可以再挖掘一下,看有沒有新的發(fā)現(xiàn)比如我把條件和結(jié)論對調(diào)一下,結(jié)論還成立嗎?原題條件是P1,我換個條件P2,結(jié)論還成立嗎? 或者說,若不滿足條件P1,結(jié)論還成立嗎? 原問題條件太苛刻了,我削弱一下條件,結(jié)論成立否.原問題是3維的,換成n維情況還成立嗎? 原問題要求函數(shù)f連續(xù),我換成Riemann可積后,結(jié)論如何? 或者說原問題是與三角函數(shù)(涉及周期性)有關(guān),我換成一般的周期函數(shù)后,結(jié)論如何? 或者說原命題是否有推廣的可能. 舉兩個例子,比如關(guān)于積分號下取極限(or積分運(yùn)算與極限過程互換),通常要求是一致收斂.但一致收斂這個條件太強(qiáng)了,能否換成更一般的條件.于是阿爾澤拉定理就出現(xiàn)了,其用一致有界和點(diǎn)態(tài)收斂條件來替換一致收斂.(可參考南開數(shù)學(xué)分析or謝惠民的書or微積分學(xué)教程) 所謂阿爾澤拉定理(也稱為Riemann積分理論中的控制收斂定理)是如下形式: 所謂一致有界,即存在正數(shù)M>0,使得任取n,x∈[a,b]有|fn(x)|<=M.阿爾澤拉定理斷言只需要可積函數(shù)列fn(x)點(diǎn)點(diǎn)收斂,即fn(x)→f(x),和一致有界, 及f(x)Riemann可積,便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (極限運(yùn)算與積分運(yùn)算交順序) 熟悉Lebesgue積分的朋友們會發(fā)現(xiàn),此定理就是實(shí)變中Lebesgue控制收斂定理的特例.相比之下多出的條件是要求"f(x)Riemann可積",這是因?yàn)闃O限函數(shù)未必是Riemann可積的.這一要求在Lebesgue積分理論中可以去掉,因?yàn)榭蓽y函數(shù)的極限也是可測函數(shù).(這從某個角度表現(xiàn)了L積分相對于R積分的優(yōu)越性). 其實(shí)從實(shí)變角度考察數(shù)分會有新的收獲的,比如:揭示點(diǎn)態(tài)收斂與一致收斂之間關(guān)系的葉果洛夫定理. 另一個例子,我想舉下傅立葉級數(shù)理論中的Riemann引理,即傅立葉系數(shù)趨于0的推廣形式, 為 ∫f(x)sin(λx)dx=0,當(dāng)λ→∞時. 我們可以猜想,如果我們用更一般的周期函數(shù)g(x)來代替sinx,結(jié)果如何, 即∫[a,b]f(x)g(λx)dx → 1/T ∫[0,T]g(λx)dx∫[a,b]f(x)dx (T為g(x)的周期) 這就是后來稱為Riemann-Lebesgue引理的東西.08年北大的第9題考察的就是這個推廣后的Riemann-Lebesgue引理.(簡單情況可以取λ=n) 其實(shí),傅立葉級數(shù)有許多精彩的理論,大家可以嘗試用一般的周期函數(shù)代替三角函數(shù)推廣下.(這種推廣不一定都行的通,只是提供一種可能的思路) 我這個帖子是談如何提高數(shù)學(xué)修為的,而不是針對考研的(雖然考研的朋友們可以借鑒),這個帖子只是給考研人一個參考而已.坦白說,研究數(shù)學(xué)與考研經(jīng)常是矛盾的,這也是不少高手或老師不屑考研的一個原因.關(guān)于考研,我在局外人看北大那個帖子里談了我的看法(那個是針對考研的). 另外,提高數(shù)學(xué)水平確實(shí)費(fèi)時間,數(shù)學(xué)王國無皇家大道.除非你在數(shù)學(xué)方面天賦異稟,否則還是自己多花些功夫?yàn)楹?我自己覺得我在微積分方面是個數(shù)分先天者了,但我今天的數(shù)學(xué)修為也是苦修來的.比如說,我經(jīng)�？吹接械娜吮г箯堉蠋煂懙�<數(shù)學(xué)分析新講>太難了,后來我都懶的回帖爭論了.我大二買的"新講",前后反反復(fù)復(fù)看了能有20遍,雖然不是每次都仔細(xì)研讀吧,但有幾人像我這樣.我對新講中的定理具體在哪塊(甚至頁碼)已經(jīng)十分熟悉了,就差把這套書背下來了.我覺得任何人只要把一本數(shù)分書看上20遍,就不怕水平不提高. 我的信條是:重復(fù)是記憶的最佳方法,熟能生巧. 倘若不是我把新講看上20遍,現(xiàn)在的SCIbird的數(shù)分水平仍然是個半吊子,看北大的題仍然覺得是看天書. 我是自學(xué)數(shù)分的,從沒受過哪個人指導(dǎo),與數(shù)學(xué)系出身的相比是走了不少冤枉路,浪費(fèi)了不少時間.但我從不后悔看新講那20遍,沒那20遍我就不能打下扎實(shí)的基礎(chǔ),就不可能在2個月內(nèi)利用業(yè)余時間自學(xué)完了實(shí)變函數(shù).看過我寫過的試題證明的朋友們,會覺得我寫的筆墨比較多,但還算比較通俗,而且使用的方法也很樸素(以致于被一些朋友認(rèn)為方法俗套,sigh!).這是因?yàn)?quot;新講"對我的風(fēng)格影響很大,說實(shí)話,以前的我風(fēng)格與現(xiàn)在完全相反. 講一段真實(shí)的故事: 高中時代的我搞過奧賽,那時的我崇尚證明的華麗和玄乎,喜歡玩技巧!-----我稱之為浪漫主義風(fēng)格.對一些很樸實(shí)的方法,反到認(rèn)為羅唆和水平低.常以擅長華麗的技巧和高深的理論(相對高中來說,主要是競賽方面)而自居,重證明,輕計(jì)算.其直接后果是高考數(shù)學(xué)考的一塌糊涂.上了大學(xué)后,尤其是看了張筑生老師的<新講>后我的認(rèn)識有了改變:證明簡潔不代表深刻, 證明技巧性很強(qiáng)因而短,不代表具有一般性.寫的少,未必就是一個好的證明. 而現(xiàn)在的我有點(diǎn)"重劍無鋒"的味道了,呵呵,這與新講的風(fēng)格很相近. 至于挖掘新東西費(fèi)時間,這是正常的,等你念研究生就能深刻體會到了.屬于自己的東西才能理解的更深刻.發(fā)現(xiàn)的結(jié)果與前人撞車不要緊,可以這樣YY:當(dāng)年Newton,Gauss,Euler也發(fā)現(xiàn)過,我和他們當(dāng)年一樣...... 而且一段時間以后發(fā)覺自己連親自發(fā)掘的東西都記不清了的時候，真是好郁悶-----你缺乏總結(jié), 很多人不喜歡歸納總結(jié)甚至鄙視歸納總結(jié),這是不對的.當(dāng)你歸納總結(jié)知識(不論是別人的還是自己的)后,你會有一個整體的認(rèn)識.一味的做題而不總結(jié),每一次都是局部的,只見樹木不見森林,久而久之,反倒迷失了方向. 最后,祝你和其他朋友們金榜題名!Bless All! 越來越感到張筑生老師生前的話了,寫數(shù)學(xué)書不容易啊(寫數(shù)學(xué)文章何嘗不是呢).寫深了點(diǎn)兒,有的人覺得難;寫淺了點(diǎn)兒,有人覺得太簡單;寫專業(yè)點(diǎn)兒,版上有不少和我一樣本身不是數(shù)學(xué)專業(yè)的,看不懂;寫多了,有人覺得羅唆;寫少了,有人往往不知所云.要照顧到不同層次讀者真是一件很困難的事情,確實(shí),讓別人明白自己在說啥是個難題! 畢竟咱不是大師,不可能三言兩語就把問題說清楚,因此多說還是比少說不說好些.至于,舉例子,采取這樣的方式,我一般舉兩個例子,一個難的,一個簡單的.簡單的我盡量限制在數(shù)分范圍內(nèi),而且盡量舉比較容易理解的例子.由于例子是現(xiàn)想的,可能不是最恰當(dāng)?shù)? 3.勤動手算,勤動手推導(dǎo),在算例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 目前有一個糟糕的現(xiàn)象,工科的生偏愛計(jì)算,見到證明題就頭大;數(shù)學(xué)系的偏愛證明,對計(jì)算不屑.其結(jié)果是走兩個極端,工科的證明水平比較低,數(shù)學(xué)系的計(jì)算能力比較差.記得上研究生數(shù)值分析A時,身邊一個mm抱怨老師"講那么多理論干嘛,只要告訴我怎么算就行了",而且很理直氣壯,很強(qiáng)大.(聽的我直冒汗) . 又驚聞某實(shí)驗(yàn)班學(xué)數(shù)學(xué)分析,結(jié)果有的學(xué)生算個定積分做不出來.我覺得十分有必要扭轉(zhuǎn)這種不好的現(xiàn)象.證明和計(jì)算是統(tǒng)一的,而不應(yīng)該人為的割裂開. 很多數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)或者證明確實(shí)是算出來的,即便將來打算搞基礎(chǔ)數(shù)學(xué),適當(dāng)加強(qiáng)自己計(jì)算能力也是有好處的.有些東西你不親自動手算算,你是看不出規(guī)律的.你不積累,如何爆發(fā)! 回顧歷史,許多大數(shù)學(xué)家都是擅長計(jì)算的,比如偶的偶像Gauss吧,后半輩子在搞天文.那時沒計(jì)算機(jī),基本靠手算.天文數(shù)字,很好算嗎? 不過后人整理Gauss的手稿時,發(fā)現(xiàn)他很少有算錯的.Gauss自己說過他當(dāng)初如何發(fā)現(xiàn)被后人稱為"素?cái)?shù)定理"的東西,他說他當(dāng)時計(jì)算了3000000以內(nèi)(好像是這個數(shù),記不清了)的所有素?cái)?shù),然后猜出來的結(jié)果. 素?cái)?shù)定理:記π(x)表示不超過x的素?cái)?shù)的個數(shù),Gauss猜想 lim π(x) / (x/ ln x) = 1. 這個定理是漸進(jìn)(x→+∞)意義下的,近似程度不是很高(不實(shí)用).我們一方面驚嘆Gauss驚人的洞察力的同時,還需要看到:如果不是Gauss事先計(jì)算了大量的素?cái)?shù),他也不可能發(fā)現(xiàn)觀察出素?cái)?shù)分布頻率來. 再舉個大家熟悉的例子,比如微分學(xué)中兩個函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式.這個公式證明不是很復(fù)雜,結(jié)論也不是很難記.不知大家有沒有算過? 對uv求n階導(dǎo)數(shù)(uv)^(n):首先,我們知道 (uv)'=u'v+uv',反復(fù)應(yīng)用這個公式就能求出任意階導(dǎo)數(shù).如果你有耐心,計(jì)算次數(shù)比較多(如3次,4次,5次.....),合并結(jié)果中的同類項(xiàng)后,你會發(fā)現(xiàn)兩個規(guī)律.(1)各項(xiàng)系數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)(or楊輝三角);(2)u,v導(dǎo)數(shù)階數(shù)之和都為n. 如果你記憶力足夠好或高中學(xué)的扎實(shí),你會立刻發(fā)現(xiàn)這很像二項(xiàng)式展開式.so 你可以大膽的猜想結(jié)果是 (uv)^(n)= ∑C_n^k u^(k)v^(n-k), C_n^k為二項(xiàng)式系數(shù). 這就是后來的萊布尼茨的公式.然后你可以嘗試用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明它. 并不是所有的數(shù)學(xué)定理都隱藏的很深,很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律.數(shù)學(xué)有時候也很簡單. "我覺得跟你看張筑生的書關(guān)系不大，主要還是你的數(shù)學(xué)水平提高了。"-----呵呵,竟然有比我自己還了解自己的. 事實(shí)上,肯定與我自身水平提高有關(guān),因?yàn)槲艺f過數(shù)學(xué)是一個整體.新講對我的影響太大了,已經(jīng)滲透到我的方法,思想,甚至精神當(dāng)中了!!因此我說新講對我的水平影響最大不為過. 至于兩個月自學(xué)實(shí)變,是這樣的.我實(shí)變是奧運(yùn)期間自學(xué)的,學(xué)的不是特別深,也沒怎么做題. 這里多說兩句,分享一些心得. 當(dāng)初主要感覺從傳統(tǒng)角度學(xué)數(shù)分遇到了瓶頸,聽說實(shí)變從一種新的角度看微積分,而且很本質(zhì).當(dāng)時清華這邊有實(shí)變函數(shù)學(xué)實(shí)變之說,所以還是很小心的看的.也不指望一遍能看懂,因?yàn)槲覍Ψe分論那部分更感興趣,測度論簡單看看,記了下主要性質(zhì)就過去了. 我多次在文章中說過,數(shù)學(xué)是一個整體的,不同學(xué)科是相通的. 就測度這塊吧,為啥研究它.最初是為了研究積分而自然提出的,∫[a,b]f(x)dx = ? 結(jié)果是多少先不管,首先這個積分得有意義.從幾何上看積分的幾何直觀就是曲線與x軸所圍成的"曲邊梯形"的面積.于是就提出什么時候"有面積"? 于是我們必須先澄清"面積"這個概念,推廣面積就得到了測度.如果你數(shù)分學(xué)的比較好,應(yīng)該學(xué)過約當(dāng)測度,它初步探討了面積. 在我看來,約當(dāng)測度是一種外測度和內(nèi)測度,Lebesgue測度的思想可以看成是約當(dāng)測度的推廣.既然是測度是面積的一種推廣,它就應(yīng)該有兼容性,即常見的規(guī)則圖形長度,面積,體積結(jié)果都成立.比如:區(qū)間[0,1]長度為1,長方形面積為S=ab等等. Lebesgue要建立自己的理論,就要推廣約當(dāng)測度.我想最初大致思路是這樣的:1)承認(rèn)外測度和內(nèi)側(cè)度仍然有效;2)推廣外測度的可加性,由有限可加性到無限可加性,這種推廣為啥只到可數(shù)可加性呢? 這樣想,首先單點(diǎn)集的測度為0,若是不可數(shù)可加性,你就得到區(qū)間[a,b]的測度也為0,這與最初設(shè)計(jì)測度的兼容性想法相矛盾!于是無限只能到可數(shù)可加性為止. 但這樣就OK了嗎? 如果你學(xué)數(shù)學(xué)時多留心的話,你發(fā)現(xiàn)有的概念定義很怪,有的條件貌似很煩人.這多半是為了排除一些bt的反例而人為加上的.我們記約當(dāng)測度為J測度,Lebesgue測度為L測度. J測度是用外壓和內(nèi)擠來定義的(外測度=內(nèi)測度),很類似達(dá)布上和與下和,這實(shí)際上是逼近的思想(數(shù)分的核心思想).但有一個問題,有的圖形它沒有內(nèi)部,你無法從內(nèi)部逼近.那只考慮外測度行不? 不行,因?yàn)橛蟹蠢?存在兩個不交的集合A,B.其并集的外測度不等于外測度之和,這與我們通常的認(rèn)識相違. 于是,退而求其次,即"改造"內(nèi)測度.我們定義點(diǎn)集E(含于區(qū)間[a,b]內(nèi))的外側(cè)度,考慮其覆蓋(一堆區(qū)間)面積的下確界,外測度記為m(E),這無論E有無內(nèi)部都能做到.在考慮E的相對補(bǔ)集E^c = [a,b]-E的外測度,內(nèi)測度定義為n(E) = (b-a)-m(E^c).當(dāng)m(E) = n(E)時,就稱E為Lebesgue可測的,其測度為公共值m(E).這說明內(nèi)測度是用外測度誘導(dǎo)出來的(間接調(diào)用外測度),一舉兩得. 上面的關(guān)于外測度和內(nèi)測度引入思想還是比較自然的,關(guān)于lebesgue測度的那些基本性質(zhì)也很顯然.但是這些基本性質(zhì)的證明卻很晦澀.我采取的方式是承認(rèn)這些測度的基本性質(zhì)(會用),以后再補(bǔ)上證明.相當(dāng)于某種程度上避開了令初學(xué)者恐懼的測度論. 接著說點(diǎn)Lebesgue積分理論心得吧. <可測函數(shù)> 我們的目標(biāo)是研究積分,當(dāng)然要研究那些能"圍出"面積(測度)的積分了,這樣就自然走到了可測函數(shù)這塊.其實(shí),實(shí)變并不那么玄乎,關(guān)鍵在于你能否抓住主線.英國著名數(shù)學(xué)家Littlewood曾經(jīng)提出了實(shí)變函數(shù)論中有名的"小木頭三原理", 直觀上,大致內(nèi)容如下: 1).測度與有限個區(qū)間的并集相差不多;(外測度定義,L測度是外測度的子集) 2).可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)相差不多;(魯津定理) 3).一致收斂與點(diǎn)點(diǎn)收斂相差不多.(葉果洛夫定理) 注意,上面的三原理中"與"字右邊的都是數(shù)分中我們熟悉的東西.如果我們承認(rèn)這三個基本原理,確實(shí)實(shí)變中不少結(jié)論可由"小木頭三原理"推出來.其中最有用的恐怕要屬葉果洛夫定理了,因?yàn)閿?shù)分中關(guān)于一致收斂有很多結(jié)論的,而葉果洛夫定理中那個測度任意小的集合(不一致收斂的點(diǎn)的集合)在積分理論中可以控制(積分值可以任意小). 當(dāng)然可測函數(shù)這里還有其他的定理,就不多說了. 這才是我最感興趣的地方.熟悉Riemann積分的知道,Riemann積分研究的函數(shù)變化不能太劇烈,連續(xù)性得比較好.我們研究Riemann積分是分定義域,而Lebesgue積分是分值域(以克服函數(shù)變化劇烈造成的困難).可是后者我們在效仿Riemann和時會發(fā)現(xiàn)y_i到y(tǒng)_{i+1}對應(yīng)的x的集合,可能不是一些區(qū)間,可能是一些點(diǎn)集,可能很復(fù)雜.幸虧我們有測度(可測集可以為一些點(diǎn)集),以前我們只能在區(qū)間上積分(or約當(dāng)可測集上),現(xiàn)在我們可以在L可測集上積分.當(dāng)然可能會有一些很bt的積分出現(xiàn),這是數(shù)分中沒有的.Lebesgue積分的一個很NB的性質(zhì)是它與Riemann積分兼容,即凡是Riemann可積函數(shù)必Lebesgue可積,而且積分值相等. Lebesgue積分的好處不僅僅是擴(kuò)大了可積函數(shù)范圍,它放寬了許多極限條件.這可從Lebesgue控制收斂定理,列維定理,法圖定理等看出. 有意思的是: Lebesgue控制收斂定理 對應(yīng)著數(shù)分中的 阿爾澤拉定理 列維定理 對應(yīng)著數(shù)分中的 迪尼定理 通過對比,即方便記憶,又加深了理解. 至于后面的微分與不定積分可看作是數(shù)分的深化: 我們常見的函數(shù)多數(shù)都能寫成分段單調(diào)形式,從實(shí)變角度通過對單調(diào)函數(shù)的研究,得到了許多深刻的結(jié)論.而對有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的研究在某種程度上解決了許多微積分上的基本問題.如曲線可求長,NL公式的應(yīng)用等等. 而L^2理論可以與數(shù)分中Fourier級數(shù)理論緊密聯(lián)系,進(jìn)而有許多深刻的結(jié)論,如 ^2中的Fourier級數(shù)幾乎處處收斂等,進(jìn)而連續(xù)函數(shù)的Fourier級數(shù)幾乎處處收斂. 好貼一起分享。 轉(zhuǎn)自http://blog.sina.com.cn/s/blog_855a9fa501018j8p.html |
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