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角動(dòng)量算符 作用于 二維諧振子波函數(shù)的角動(dòng)量后 物理意義是什么？
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在直角坐標(biāo)系下，二維諧振子勢(shì)第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)是psi (01) psi (10), 請(qǐng)問(wèn)如果用角動(dòng)量算符 lz 作用于這兩個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)，為什么值為0呢， <psi (01)| lz |psi (01)> =0, <psi (10)| lz |psi (10)> =0, <psi (01)| lz |psi (10)> 卻不等于0. (1) 這兩個(gè)在直角坐標(biāo)系下解出來(lái)的波函數(shù)是能量算符的本征態(tài)，而不是角動(dòng)量算符的本征函數(shù)，對(duì)于角動(dòng)量來(lái)說(shuō)出現(xiàn)上面情況應(yīng)該用什么物理內(nèi)容來(lái)解釋呢？ (2) 如果在球坐標(biāo)系中，得到的是哈密頓量和軌道角動(dòng)量的共同本征函數(shù)，所以角動(dòng)量算符作用于自身的話(huà)得到的是本征值。 有點(diǎn)亂啊，理解不清楚。 1.png 2.jpg |
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建議把各個(gè)力學(xué)量算符在直角坐標(biāo)下的具體形式寫(xiě)下來(lái) 可能就清楚了 老老實(shí)實(shí)最具體的形式 那么 1. 在直角坐標(biāo)系下，所謂的01和10指的是H_x 和 H_y的本征值吧? 這里 H_x+H_y=H (H_x=p_x^2/2m+V()) 這個(gè)時(shí)候 上面等式也能理解呀 就是L_z這個(gè)算符的前面二行二列的對(duì)角元是0，非對(duì)角元非零。 A. 可以在直角坐標(biāo)下把波函數(shù)和L_z的形式寫(xiě)下來(lái)驗(yàn)證 B. 或者根據(jù)H,L關(guān)于x,p的的表達(dá)式和x,p的對(duì)易關(guān)系，可以驗(yàn)證 2.弄清楚了上面1，這個(gè)也就容易理解了，這個(gè)時(shí)候 選取的是H=H_x+H_y以及L_z^2為基本力學(xué)量，它們是相互對(duì)易的（因?yàn)橹C振子勢(shì)也是中心勢(shì)），這個(gè)時(shí)候和直角坐標(biāo)系對(duì)比，相當(dāng)于一個(gè)表象變換，在這個(gè)表象變換下 H 還是對(duì)角的，但是L_z從非對(duì)角的變成對(duì)角的了，這個(gè)時(shí)候H_x和H_y當(dāng)然也從對(duì)角的變成非對(duì)角的了。 |
3樓2014-10-01 20:25:17
fyl7
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我只能給出個(gè)大概的解釋?zhuān)唧w細(xì)節(jié)我也不是十分清楚。 第一問(wèn)，原來(lái)的能量簡(jiǎn)并態(tài)在某些外場(chǎng)作用下會(huì)“去簡(jiǎn)并”，比較明顯的例子是原子在磁場(chǎng)中的一些能級(jí)分裂，比如塞曼分裂。這里的情形是類(lèi)似的。 第二問(wèn)，我不清楚計(jì)算的細(xì)節(jié)。但是從基本原理來(lái)看，這似乎不太可能。因?yàn)榈谝粏?wèn)說(shuō)明哈密頓量與角動(dòng)量lz不對(duì)易，這個(gè)不對(duì)易似乎不依賴(lài)坐標(biāo)系的選取吧。你覺(jué)得呢？ |
2樓2014-10-01 11:47:42
walk1997
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btw: 如果非要一個(gè)物理圖像下的直觀理解 你可以想象L_z的作用相當(dāng)于一個(gè)繞著z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以L(fǎng)_z作用到波函數(shù)上，相當(dāng)于把x軸轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸，y軸轉(zhuǎn)到x軸(這個(gè)時(shí)候 只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)90度這個(gè)特例，因?yàn)榱孔?，所以|10>在繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)90會(huì)變成|01> 所以，對(duì)角元就是0，非對(duì)角元反而不是0. (嚴(yán)格點(diǎn) 可能應(yīng)該說(shuō) Exp(I*L_z*角度) 是這樣的坐標(biāo)空間的轉(zhuǎn)動(dòng)在波函數(shù)上的誘導(dǎo)) |
4樓2014-10-01 20:35:57
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如果從計(jì)算出來(lái)的結(jié)果看，在直角坐標(biāo)系中確實(shí)兩個(gè)波函數(shù)只要旋轉(zhuǎn)90°就能重合，但我想可能角動(dòng)量算符的物理意義不是簡(jiǎn)單這樣的，比如對(duì)于d態(tài)是三重簡(jiǎn)并，隨便怎么轉(zhuǎn)d1 也得不到 d2 的結(jié)果。所以角動(dòng)量不能從旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性來(lái)考慮。 回到在主貼提出的問(wèn)題1，后來(lái)我是這么理解的，因?yàn)?Lz =坐標(biāo)x 乘 動(dòng)量y - 坐標(biāo)y 乘 動(dòng)量x <psi (01)| lz |psi (01)> 相當(dāng)于在一個(gè)方向上的坐標(biāo)平均值與另一個(gè)方向上的動(dòng)量平均值的乘積，所以結(jié)果是為0的，因諧振子線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)，沒(méi)一個(gè)方向上的位置或者動(dòng)量平均值都為0： 可以簡(jiǎn)單化為<0|x|0>*<1|p|1>=0 <psi (01)| lz |psi (10)>則不一樣了，因?yàn)?lt;0|x|1>不等于0， <1|p|0>也不為0. 兩位 ...7兄 的矩陣力學(xué)博大精深，強(qiáng)。 |
5樓2014-10-01 21:34:10
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