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孟晶晶345

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[求助] 數(shù)列求和

Σ1/n的4次方＝π的4次方/96 其中 n＝1，3，5…
這個數(shù)列的和是怎么計算的�。课沂菍W(xué)物理的，題目中碰到了這個，希望大家可以幫忙解決一下！因為是客戶端發(fā)的，好像不能加圖片，不知道我的表述是不是清楚？

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1樓 2014-10-30 20:46:51

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hank612

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孟晶晶345(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2014-10-31 07:44:52

http://www.math.hawaii.edu/~pavel/bernoulli.pdf

我照抄一遍, Euler 的證明簡單,深刻, 令人想忘都難.

定義 $\zeta(2m)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}}=\frac{1}{1^{2m}}+\frac{1}{2^{2m}}+\frac{1}{3^{2m}}+\cdots$

定義 $\frac{t}{e^t-1}=\sum_{m=0}^{\infty} B_m\frac{t^m}{m!}$ Bernoulli 數(shù).

由于 $\frac{t}{e^t-1}+\frac{t}{2}$ 是偶函數(shù), 所以 $B_3=B_5=B_7=\cdots=0$ .

前幾個非零的Bernoulli 數(shù)是: $B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42}$

Euler告訴我們, $\cot(x)=\frac{1}{x}-2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2\pi^2-x^2}$ .

這個是復(fù)變函數(shù)中的簡單練習(xí). 因為左邊減去右邊是個整函數(shù), 在無窮遠點 $z=\infty$ 收斂,由Picard定理知道這個差是個常數(shù)函數(shù). 該常數(shù)函數(shù)在z=0處取值為零. 所以等式成立.

幾何級數(shù)展開: $\frac{x}{n^2\pi^2-x^2}=\frac{x}{n^2\pi^2}\cdot \frac{1}{1-(x/n\pi)^2}=\frac{x}{n^2\pi^2} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{x}{n\pi}\right)^{2k}$

因此
$x\cot{x}=1-2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2\pi^2}\cdot (\frac{x}{n\pi})^{2k}=1-2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\pi^{2k}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}=1-2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{\pi^{2k}}\zeta(2k)$ .

現(xiàn)在利用Euler 公式 $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$ 展開三角函數(shù), 得到
$x\cot{x}=x\cdot \frac{(e^{ix}+e^{-ix})/2}{(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)}=ix\cdot \frac{e^{2ix}+1}{e^{2ix}-1}=ix+\frac{2ix}{e^{2ix}-1}=ix+\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{(2ix)^m}{m!}$

比較 $x^{2m}$ 系數(shù), 立得: $2\zeta(2m)=(-1)^{m+1}\frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}B_{2m}$

樓主證明的等式就是上式中m=2時的特例. 當然, 分母應(yīng)該是90, 而不是96.
$\zeta(4)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2\pi)^4}{24}\cdot \frac{1}{30}=\frac{\pi^4}{90}$

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2樓2014-10-31 01:12:39

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zaq123321

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Amazing.

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小木蟲給我溫暖，給我希望，愛就要愛小木蟲。

3樓2014-10-31 02:46:36

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hank612

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對不起我沒注意到你只求對奇數(shù)的四次方的求和.

$\frac{\pi^4}{90}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\frac{1}{2^4}\cdot \frac{\pi^4}{90}$ , 因此
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=(1-\frac{1}{16})\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{96}$

樓主是百分之百的正確.

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孟晶晶345

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4樓2014-10-31 08:20:30

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引用回帖:

4樓: Originally posted by hank612 at 2014-10-31 08:20:30
對不起我沒注意到你只求對奇數(shù)的四次方的求和.

\frac{\pi^4}{90}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\frac{1}{2^4}\cdot ...

謝謝謝謝！好厲害！

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5樓2014-10-31 17:56:35

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希望有一天知道ζ(2k+1)的值，或者無理性，和超越性，或黎曼猜想。

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1解放公園

6樓2014-11-01 02:04:51

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2014-10-31 01:12:39
http://www.math.hawaii.edu/~pavel/bernoulli.pdf

我照抄一遍, Euler 的證明簡單,深刻, 令人想忘都難.

定義\zeta(2m)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}}=\frac{1}{1^{2m}}+\frac{1}{2^{2m}}+\frac{1}{3^{ ...

希望有一天知道ζ(2k+1)的值，或者無理性，和超越性，或黎曼猜想。

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7樓2014-11-01 02:06:06

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也可以用傅里葉級數(shù)展開公式跟帕塞瓦爾等式來證明。

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PreferenceforMathematics

8樓2014-11-01 04:39:08

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