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wangyymm

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1樓 2014-12-10 18:57:39

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hank612

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wangyymm(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10, 樓主要求 2014-12-11 15:38:26

第三題試試看:

(1) 若f屬于 $L^1(X,\mu)$ , 令 $E_n=\{x\in X|\frac{1}{n}\leq |f(x)|\leq \frac{1}{n-1}\}$ , n=1,2,.... 那么, $\{x\in X| f(x)\neq 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}E_n$ 并且 $\infty> \int_X|f(x)|d\mu \geq \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)\frac{1}{n}$ , 于是每一個(gè)E_n都是有限集合, 而可數(shù)個(gè)可數(shù)集合依然可數(shù), 所以 $\{x\in X| f(x)\neq 0\}$ 最多可數(shù).

(2) 先證Banach空間. 設(shè) $\parallel f_n-f_m\parallel \rightarrow 0$ 為一列Cauchy 列. 對(duì)于任意一點(diǎn)x, 都有: $\parallel f_n-f_m\parallel \geq |f_n(x)-f_m(x)|*\mu(\{x\})= |f_n(x)-f_m(x)|$ , 所有對(duì)每一點(diǎn), f_n(x)都是Cauchy數(shù)列, 還是一致收斂于極限函數(shù)g(x). 由于 $\int_X|g(x)|d\mu\leq$

由一致收斂性, 對(duì)所有的 $\{y \in X: |g(y)|\geq \frac{1}{k} \}$ , 存在N,使得 $sup_{ x\in X, n\geq N}|g(x)-f_n(x)|\leq \frac{1}{2k}$ , 于是 $|g(y)-f_m(y)|\leq \frac{1}{2k}+|f_m(y)|\leq 2|f_m(y)|$ 對(duì)所有的m>N成立. 于是 $\int_{|g(x)|\geq \frac{1}{k}} |g(x)|d\mu \leq \int_{|g(x)|\geq \frac{1}{k}} 2|f_m(x)|d\mu +\int_X |f_m(x)|d\mu \leq 3M$ , 常數(shù) $M=sup_n \parallel f_n\parallel$
從而單調(diào)上升序列 $\int_{|g(x)|\geq \frac{1}{k}} |g(x)|d\mu$ 有上界, 因此有極限, $\parallel g \parallel <\infty$ , Banach空間成立.

回頭證不可分. 如果{f_n}在X中稠密, 那么由第一部分結(jié)果知道, $\{x: f_n(x)\neq 0 \mbox{for some n}\}$ 是可數(shù)個(gè)可數(shù)集合的并, 依然可數(shù). 可是X自身是不可數(shù)集合, 取一點(diǎn)a 使得f_n(a)=0恒等于零, 那么函數(shù)G(x)=" 1 if x=a; 0 otherwise" 滿足 $\parallel G-f_n \parallel \geq 1$ 無法被逼近, 矛盾.

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We_must_know. We_will_know.

2樓2014-12-11 06:15:13

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2014-12-11 06:15:13
第三題試試看:

(1) 若f屬于L^1(X,\mu), 令E_n=\{x\in X|\frac{1}{n}\leq |f(x)|\leq \frac{1}{n-1}\}, n=1,2,.... 那么, \{x\in X| f(x)\neq 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}E_n并且\infty> \int_X|f(x)|d\mu \geq \ ...

謝謝!

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3樓2014-12-11 11:15:29

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wangyymm

金蟲 (著名寫手)

引用回帖:

4樓2014-12-11 11:15:37

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大蝦, (2) 中第三行好像漏掉一部分,能否補(bǔ)上?謝謝!!!

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5樓2014-12-11 11:18:20

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