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素數(shù)間隔能有多大？華裔數(shù)學(xué)家獲突破 已有8人參與
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素數(shù)可以說是數(shù)論中最基礎(chǔ)，也是最重要的概念，指的是一個大于2的正整數(shù)，除了1和它本身之外，不是任何數(shù)的倍數(shù)。就在去年，華人數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素數(shù)研究方面取得了突破性進(jìn)展，而據(jù)新浪科技24日報道，包括加州大學(xué)洛杉磯分校的天才華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒在內(nèi)的研究小組目前正取得素數(shù)間隔問題的研究突破，這將最終影響加密算法的研究，對信息安全領(lǐng)域有巨大貢獻(xiàn)�！短剿鳌冯s志曾評選出美國20位40歲以下最聰明的科學(xué)家，陶哲軒位居榜首，這位神童在10歲的時候就和素數(shù)間隔猜想的提出者保羅·愛多士討論數(shù)學(xué)，如今，他終于有能力解決愛多士提供獎勵的問題。 2013年5月，新罕布什爾大學(xué)的數(shù)學(xué)家張益唐發(fā)表了一篇關(guān)于素數(shù)研究的標(biāo)志性論文，第一次提出了有無窮對素數(shù)，之間存在著一定的間隔。他還證明了這個間隔是在7000萬以內(nèi)。論文發(fā)表之后，短 短時間內(nèi)就有許多數(shù)學(xué)家掌握了他的新方法，開始嘗試改進(jìn)這個常數(shù)。從7000萬到6000萬，再到4200萬、1300萬、500萬、40萬，到目前為 止，這個常數(shù)已經(jīng)降到了246，越來越接近孿生素數(shù)猜想的范圍。如果這一常數(shù)改進(jìn)到2，就相當(dāng)于證明了孿生素數(shù)猜想（觀察者網(wǎng)注：孿生素數(shù)猜想即希爾伯特第8問題，猜想存在無窮多個素數(shù)p，使得p + 2是素數(shù)）。 到此為止，數(shù)學(xué)家們在反過來的一個問題——連續(xù)素數(shù)的間隔可以有多遠(yuǎn)？——上已經(jīng)取得了76年來第一個重要進(jìn)展。隨著數(shù)字增長，相鄰素數(shù)之間的平均間隔會趨于無窮，但在任一有限的數(shù)字列中，最大的素數(shù)間隔可以比平均間隔大很多。沒有人能計算出這些間隔到底有多大。 “這是一個很顯而易見的問題。在談?wù)摰剿財?shù)的時候，這是首先要問的問題之一，”蒙特利爾大學(xué)的數(shù)論學(xué)家安德魯·格蘭維爾(Andrew Granville)說，“但對問題答案的探索停滯了幾乎80年時間�！� 2014年8月，兩個數(shù)學(xué)研究小組發(fā)表了文章，論述了如何證明保羅·愛多士關(guān)于素數(shù)間隔的猜想。兩個團(tuán)隊已經(jīng)聯(lián)合起來，進(jìn)一步深化素數(shù)間隔問題的研究結(jié)果，并預(yù)計于12月再發(fā)表一篇新的論文。 保羅·愛多士(Paul Erd?s)是20世紀(jì)成果最為豐碩的數(shù)學(xué)家之一，終其一生解決了數(shù)百個數(shù)學(xué)問題，并熱衷于為數(shù)學(xué)問題的解決提供現(xiàn)金獎勵。盡管大部分的獎勵只有25美金，但愛多士“有點(diǎn)兒魯莽地”(他自己后來寫道)提供了一份1萬美金的獎勵，用于解決他提出的素數(shù)間隔猜想的證明問題。 愛多士的猜想基于蘇格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特·亞歷山大·蘭金(Robert Alexander Rankin)在1938年提出的一個看似奇怪的邊界。蘭金稱，對于足夠大的數(shù)X，小于X的最大素數(shù)間隔至少為： 加州大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒說，在數(shù)論公式中會出現(xiàn)許多的“l(fā)og”(自然對數(shù)的簡寫)。他與伊利諾伊大學(xué)香檳分校的凱文·福特(Kevin Ford)、牛津大學(xué)的本·格林(Ben Green)以及莫斯科斯捷洛夫數(shù)學(xué)研究所的謝爾蓋(Sergei Konyagin)合作撰寫了兩篇新論文中的一篇。 不過，蘭金的結(jié)果是“一個不可理喻的公式，你永遠(yuǎn)不可能自然地展示出來，”陶哲軒說，“所有人都認(rèn)為這個公式很快就會得到改進(jìn)，因?yàn)樗婀至��！比欢�，在超過七十年的時間里，依然沒有人能對蘭金的公式進(jìn)行哪怕最微不足道的改進(jìn)。 許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，最大素數(shù)間隔很可能大得多——大于(log X)2的數(shù)量級。這一理論是由瑞典數(shù)學(xué)家哈拉爾德·克拉梅爾(Harald Cramér)在1936年首先提出來的。(log X)2數(shù)量級的素數(shù)間隔是在素數(shù)表現(xiàn)得像隨機(jī)數(shù)的集合——在很多方面它們看起來的確如此——時會出現(xiàn)的。但是，沒有人能接近證明克拉梅爾的猜想。陶哲軒說：“我們對素數(shù)的了解還不是很多�！� 愛多士提出了一個更為溫和的猜想：可以隨意用一個大的數(shù)字取代蘭金公式中的1/3，只要你在數(shù)字列表上取的數(shù)字足夠大。這意味著素數(shù)間隔可以比蘭金公式所呈現(xiàn)的大很多，但仍小于克拉梅爾的猜想。 新的兩種證明愛多士猜想的方法都基于一個建立大素數(shù)間隔的簡單方法。一個大的素數(shù)間隔相當(dāng)于兩個素數(shù)之間的一長列非素數(shù)(或稱復(fù)合數(shù))。這里介紹一個建立100個復(fù)合數(shù)列表的簡單方法。先從數(shù)字2,3,4，…，101，開始，然后每個數(shù)加上101的階乘(101!)。這列數(shù)字就變成101! + 2, 101! + 3, 101! + 4, … , 101! + 101。因?yàn)?01!可以被從2到101的數(shù)字整除，因此這列數(shù)字的每個數(shù)都是復(fù)合數(shù)，即101! + 2可以被2整除，101! + 3可以被3整除，以此類推。“所有關(guān)于大的素數(shù)間隔的證明采用的方法，都只是這一高中代數(shù)方法的細(xì)微變形�！迸＝虼髮W(xué)的詹姆斯·梅納德(James Maynard)說道。他撰寫了兩篇新論文中的第二篇。 上面所列的復(fù)合數(shù)是非常大的，因?yàn)?01!具有160位。為了改進(jìn)蘭金的公式，數(shù)學(xué)家們需要建立更小一點(diǎn)的復(fù)合數(shù)列表——在類似2,3,4，…，101這樣的列表上加上一個更小的數(shù)字，獲得復(fù)合數(shù)列表是可能的。兩個團(tuán)隊對有關(guān)素數(shù)間隔的最新研究結(jié)果(各自不同)進(jìn)行了分析。梅納德的論文采用了他自己去年開發(fā)的工具，研究了素數(shù)之間的較小間隔。 現(xiàn)在，上述的五位研究者已經(jīng)聯(lián)合起來，重新設(shè)定新的邊界，并計劃在一周或兩周內(nèi)發(fā)布一篇預(yù)印稿。陶哲軒認(rèn)為，這篇論文利用現(xiàn)有的方法，將蘭金的基礎(chǔ)方法盡可能地進(jìn)行了延伸。 這項新工作并不能立即投入應(yīng)用，但了解大的素數(shù)間隔將最終影響加密算法的研究。梅納德稱，如果存在比克拉梅爾猜想所預(yù)測的更長的復(fù)合數(shù)列表，那將會給依賴于尋找大素數(shù)的加密算法帶來麻煩�！叭绻麄兒懿蛔哌\(yùn)，在一個巨大間隔的開端開始尋找，那這個算法就會耗費(fèi)很長的運(yùn)行時間�！� 對于素數(shù)間隔，陶哲軒有著更加個人化的研究動機(jī)�！耙欢螘r間之后，你會感到這些東西在嘲笑你，”他說，“你被認(rèn)為是研究素數(shù)的專家，但你回答不了這些基礎(chǔ)的問題，即使人們已經(jīng)對此思考了好幾個世紀(jì)�！� 保羅·愛多士于1996年逝世，但另一位與他廣泛合作的數(shù)學(xué)家，來自加州大學(xué)圣地亞哥分校的羅納德·格雷厄姆(Ronald Graham)決定好好處理這1萬美金的獎項。 1985年，10歲的神童陶哲軒在一次數(shù)學(xué)活動中遇到了愛多士�！八降鹊貙Υ遥边@位2006年贏得數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)菲爾茲獎的數(shù)學(xué)家回憶道，“和我談?wù)摿朔浅?yán)肅的數(shù)學(xué)問題。”現(xiàn)在，陶哲軒已經(jīng)第一次有能力解決愛多士提供獎勵的問題。“所以這其實(shí)挺酷的，”他說道。 格蘭維爾說，近期有關(guān)素數(shù)間隔的研究進(jìn)展已經(jīng)催生出新一代的數(shù)論學(xué)家，他們認(rèn)為一切都是可能的�！霸谖覍W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成長時期，我們以為這些問題將是永恒的，不會看到有人能夠回答，直到另一個時代的到來，”他說，“但我覺得，過去一兩年中，人們的態(tài)度已經(jīng)改變。有許多年輕人比過去的人更有野心，因?yàn)樗麄円呀?jīng)看到了實(shí)現(xiàn)重大突破的可能�！� 加州大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒說，這是他有能力解決的第一個愛多士的有獎問題。 張益唐，華人數(shù)學(xué)家。1978年考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，1982年本科畢業(yè)；1982—1985年，師從著名數(shù)學(xué)家、北京大學(xué)潘承彪教授攻讀碩士學(xué)位；1992年畢業(yè)于美國普渡大學(xué)，獲博士學(xué)位；目前，在美國新罕布什爾大學(xué)任教。 1985年，保羅·愛多士(左)正與陶哲軒在討論數(shù)學(xué)。2014年8月，陶哲軒和另外四位數(shù)學(xué)家證明了愛多士的猜想，成為76年來有關(guān)素數(shù)間隔問題的最重大突破。 |
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