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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告
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pkusiyuan

銀蟲 (正式寫手)

[交流] Springer2010年The Art of Proof Basic Training for Deeper Mathematics

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Notes for the Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Notes for Instructors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Part I: The Discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 First Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Philosophical Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Natural Numbers and Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Ordering the Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 The Well-Ordering Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Some Points of Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Negations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Philosophical Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Finite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Fishing in a Finite Pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 A Second Form of Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 More Recursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
xi
xii Contents
5 Underlying Notions in Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1 Subsets and Set Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Intersections and Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Equivalence Relations and Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 The Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 The Integers Modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7 Arithmetic in Base Ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.1 Base-Ten Representation of Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2 The Addition Algorithm for Two Nonnegative Numbers (Base 10) . 69
Part II: The Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8 Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2 Positive Real Numbers and Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 Similarities and Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4 Upper Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9 Embedding Z in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.1 Injections and Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2 The Relationship between Z and R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 Apples and Oranges Are All Just Fruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10 Limits and Other Consequences of Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.1 The Integers Are Unbounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.2 Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.3 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.4 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.5 Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11 Rational and Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1 Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.2 Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.3 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12 Decimal Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.1 Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.2 Decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Contents xiii
13.1 Injections, Surjections, and Bijections Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.2 Some Countable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13.3 Some Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.4 An Infinite Hierarchy of Infinities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.5 Nondescribable Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
14 Final Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A Continuity and Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.1 Continuity at a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.2 Continuity on a Subset of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.3 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B Public-Key Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.1 Repeated Squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.2 Diffie–Hellman Key Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
C Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C.1 Definition and Algebraic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C.2 Geometric Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
D Groups and Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
D.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
D.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
D.3 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
D.4 Finitely Generated Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
D.5 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
D.6 Cayley Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
D.7 G as a Group of Symmetries of G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
D.8 Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
E Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
E.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
E.2 Multiplication and Reciprocals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
E.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
F Cardinal Number and Ordinal Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
F.1 The Cantor–Schr¨oder–Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
F.2 Ordinal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
G Remarks on Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
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