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Birkhauser2012Foundations of Mathematical Analysis
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Contents 1 The Real Number System 1 1.1 Sets and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Review of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 The Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 The Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 The Field of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6 An Ordered Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.7 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Supremum and Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Least Upper Bounds and Greatest Lower Bounds . . . . . . 11 1.2.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Equivalent and Countable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Sequences: Convergence and Divergence 23 2.1 Sequences and Their Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Limits of Sequences of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Operations on Convergent Sequences. . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 The Squeeze/Sandwich Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4 Bounded Monotone Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.5 Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.6 Bounded Monotone Convergence Theorem. . . . . . . . . . . . 38 2.1.7 The Bolzano–Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.8 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2 Limit Inferior, Limit Superior, and Cauchy Sequences . . . . . . . . 53 2.2.1 Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.2 Summability of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.3 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 XI XII Contents 3 Limits, Continuity, and Differentiability 71 3.1 Limit of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.1 Limit Point of a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.2 Sequential Characterization of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.3 Properties of Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.4 One-Sided Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.1.5 Infinite Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.1.6 Limits at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.1.7 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Basic Properties of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . 86 3.2.2 Squeeze Rule and Examples of Continuous Functions . . 88 3.2.3 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.4 Piecewise Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2.5 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.3 Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3.1 Basic Properties of Differentiable Functions . . . . . . . . . . . 99 3.3.2 Smooth and Piecewise Smooth Functions . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.3 L’Hˆopital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.3.4 Limit of a Sequence from a Continuous Function . . . . . . 108 3.3.5 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4 Applications of Differentiability 115 4.1 Basic Concepts of Injectivity and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1.1 Basic Issues about Inverses on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.1.2 Further Understanding of Inverse Mappings . . . . . . . . . . . 119 4.1.3 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.2 Differentiability from the Geometric View Point . . . . . . . . . . . . . 123 4.2.1 Local Extremum Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.2.2 Rolle’s Theorem and the Mean Value Theorem . . . . . . . . 127 4.2.3 L’Hˆopital’s Rule: Another Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2.4 Second-Derivative Test and Concavity . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.2.5 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5 Series: Convergence and Divergence 147 5.1 Infinite Series of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1.1 Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.1.2 Decimal Representation of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . 152 5.1.3 The Irrationality of e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.1.4 Telescoping Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.1.5 Operations and Convergence Criteria in Series . . . . . . . . 159 5.1.6 Absolutely and Conditionally Convergent Series . . . . . . . 161 5.1.7 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.2 Convergence and Divergence Tests for Series . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.2.1 Basic Divergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Contents XIII 5.2.2 Tests for Series of Nonnegative Terms . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.2.3 Abel–Pringsheim Divergence Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.2.4 Direct Comparison Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2.5 Limit Comparison Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.2.6 Cauchy’s Condensation Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.2.7 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.3 Alternating Series and Conditional Convergence . . . . . . . . . . . . . 183 5.3.1 Alternating Series Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.3.2 Rearrangement of Terms in a Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.3.3 Riemann’s Theorem on Conditionally Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.3.4 Dirichlet Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.5 Cauchy Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.3.6 (C, 1) Summability of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.3.7 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6 Definite and Indefinite Integrals 209 6.1 Definition and Basic Properties of Riemann Integrals. . . . . . . . . 209 6.1.1 Darboux Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.1.2 Basic Properties of Upper and Lower Sums . . . . . . . . . . . 216 6.1.3 Criteria for Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.1.4 Basic Examples of Integrable Functions . . . . . . . . . . . . . . 226 6.1.5 Integrability of Monotone/Continuous Functions . . . . . . 230 6.1.6 Basic Properties of Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 6.1.7 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.2 Fundamental Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.2.1 The Fundamental Theorems of Calculus . . . . . . . . . . . . . . 248 6.2.2 The Mean Value Theorem for Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.2.3 Average Value of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 6.2.4 The Logarithmic and Exponential Functions . . . . . . . . . . 260 6.2.5 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7 Improper Integrals and Applications of Riemann Integrals 271 7.1 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.1.1 Improper Integrals over an Unbounded Interval . . . . . . . 272 7.1.2 Improper Integrals of Unbounded Functions . . . . . . . . . . 280 7.1.3 The Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 7.1.4 Wallis’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.1.5 The Integral Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 7.1.6 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 7.2 Applications of the Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 7.2.1 Area in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 7.2.2 Arc Length of a Plane Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 7.2.3 Arc Length for Parameterized Curves . . . . . . . . . . . . . . . . 322 XIV Contents 7.2.4 Arc Length of Polar Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 7.2.5 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 8 Power Series 331 8.1 The Ratio Test and the Root Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 8.1.1 The Ratio Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 8.1.2 The Root Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 8.1.3 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.2 Basic Issues around the Ratio and Root Tests . . . . . . . . . . . . . . . 338 8.2.1 Convergence of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.2.2 Radius of Convergence of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . 343 8.2.3 Methods for Finding the Radius of Convergence . . . . . . . 347 8.2.4 Uniqueness Theorem for Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . 352 8.2.5 Real Analytic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 8.2.6 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 8.2.7 Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 8.2.8 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 9 Uniform Convergence of Sequences of Functions 371 9.1 Pointwise and Uniform Convergence of Sequences . . . . . . . . . . . . 371 9.1.1 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 9.1.2 Uniform Convergence and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . 382 9.1.3 Interchange of Limit and Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 9.1.4 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 9.2 Uniform Convergence of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 9.2.1 Two Tests for Uniform Convergence of Series . . . . . . . . . 396 9.2.2 Interchange of Summation and Integration. . . . . . . . . . . . 400 9.2.3 Interchange of Limit and Differentiation . . . . . . . . . . . . . . 406 9.2.4 The Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . 411 9.2.5 Abel’s Limit Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 9.2.6 Abel’s Summability of Series and Tauber’s First Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 9.2.7 (C, α) Summable Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 9.2.8 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 10 Fourier Series and Applications 429 10.1 A Basic Issue in Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 10.1.1 Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 10.1.2 Trigonometric Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 10.1.3 The Space E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 10.1.4 Basic Results on Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 10.1.5 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 10.2 Convergence of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 10.2.1 Statement of Dirichlet’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 10.2.2 Fourier Series of Functions with an Arbitrary Period . . . 448 Contents XV 10.2.3 Change of Interval and Half-Range Series . . . . . . . . . . . . . 449 10.2.4 Issues Concerning Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 10.2.5 Dirichlet’s Kernel and Its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 10.2.6 Two Versions of Dirichlet’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 10.2.7 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11 Functions of Bounded Variation and Riemann–Stieltjes Integrals 469 11.1 Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 11.1.1 Sufficient Conditions for Functions of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 11.1.2 Basic Properties of Functions of Bounded Variation . . . . 474 11.1.3 Characterization of Functions of Bounded Variation . . . 479 11.1.4 Bounded Variation and Absolute Continuity . . . . . . . . . . 483 11.1.5 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 11.2 Stieltjes Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 11.2.1 The Darboux–Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 11.2.2 The Riemann–Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 11.2.3 Questions and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 References for Further Reading 507 Index of Notation 509 Appendix A: Hints for Selected Questions and Exercises 513 Index 565 |
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