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xingchm

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[求助] 二階非齊次遞推數(shù)列求通項已有2人參與

請高手給出較為詳細的求解步驟，學習了，謝謝

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附件 1 : 二階非齊次遞推數(shù)列求通項.doc

2015-03-18 23:36:43, 16.5 K

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小木蟲，挺好的

1樓 2015-03-18 23:34:39

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peterflyer

木蟲之王 (文學泰斗)

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【答案】應助回帖

感謝參與，應助指數(shù) +1

感覺這個問題可以借助于Z變換以及它的逆變換來解決吧。

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2樓2015-03-19 14:41:42

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peterflyer

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【答案】應助回帖

當然，此時需要加一個條件：要求n為正整數(shù)。

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3樓2015-03-19 14:43:06

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yancj2004

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【答案】應助回帖

感謝參與，應助指數(shù) +1

可采用mathematica求解。

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4樓2015-03-19 23:12:07

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yancj2004

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【答案】應助回帖

RSolve[{a[n + 1] + a[n] - a[n - 1] ==
1/2 + ((1 + Sqrt[2])^(n + 2) + (1 - Sqrt[2])^(n + 2))/4, a[0] == 1,
a[1] == 1}, a[n], n]
數(shù)列a0-a11項數(shù)值如下：
{1,1,4,6,19,37,102,224,575,1331,3304,7828}
這是采用mathematica求解的命令。由于結果太復雜，所以通項表達式未列。

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5樓2015-03-20 09:24:11

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hank612

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這類題目，都是有格式化解題步驟的，只需要耐心和細心

1。設 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ . 遞推公式兩邊同時乘以 x^{n+1}，并且對n求和, 從n=1到無窮，于是得到（記得減去可能缺失的起始的若干項）

2。遞推公式各項分別對應于：左邊 $f(x)-1-x$ , 右邊五項分別為： $x^2f(x)$ , $-x(f(x)-1)$ , $\frac{x^2}{2}\frac{1}{1-x}$ , $\frac{(1+\sqrt{2})^3x^2}{4}\frac{1}{1-(1+\sqrt{2})x}$ 和
$\frac{(1-\sqrt{2})^3x^2}{4}\frac{1}{1-(1-\sqrt{2})x}$

3.稍加化簡，解得 $(1+x-x^2)f(x)=\frac{1-x-x^2}{(1-x)(1-2x-x^2)}$
立刻看出， f(x)作為有理分式，分母只有單重實根，于是做部分和分解（參考有理分式積分時的操作步驟）成五項形如 $\frac{c}{x-r}$ 之和。

4。于是由f(x)分母的5個單根，直接寫出 $a_n$ 的五個部分：
$\frac{2}{3\sqrt{5}}\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ , 加上 $\frac{-2}{3\sqrt{5}}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$ , 加上
$\frac{-4+3\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}(1-\sqrt{2})^n$ , 加上
$\frac{4+3\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})^n$ ,最后加上 $\frac{1}{2}$

5. 最后驗證一下是否有 $a_{11}=7828$

Emuch027 通項.png

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We_must_know. We_will_know.

6樓2016-06-29 22:53:46

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bluesine

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引用回帖:

6樓: Originally posted by hank612 at 2016-06-29 22:53:46
這類題目，都是有格式化解題步驟的，只需要耐心和細心

1。設f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n. 遞推公式兩邊同時乘以 x^{n+1}，并且對n求和, 從n=1到無窮，于是得到（記得減去可能缺失的起始的若干項）

2。遞 ...

hank大神把級數(shù)展開和通項公式聯(lián)系到了一起，感覺腦洞大開！~~~~佩服佩服

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板凳要做十年冷文章不發(fā)一個字

7樓2016-06-30 15:19:03

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