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[交流]
【命題】全體exp(ipr)函數(shù)集合的空間維度為阿列夫2 已有1人參與
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【證明： （步驟一）  兩個(gè)函數(shù)內(nèi)積為零，則正交。 （步驟二） 因?yàn)樵谧鴺?biāo)r表象中，動(dòng)量p等于（－id/dr），即p為r的函數(shù),記為：p＝f(r) 如果p×r共同空間的全體元素與連續(xù)實(shí)數(shù)空間點(diǎn)可以一一映射，根據(jù)實(shí)數(shù)稠密性不動(dòng)點(diǎn)定理，則存在r0，使f(r0)=r0 即有p0=r0 ，這意味著動(dòng)量和坐標(biāo)可以在某一點(diǎn)同時(shí)確定。這與不確定性原理矛盾。 所以，p×r共同空間與實(shí)數(shù)點(diǎn)空間不滿足一一映射。 所以，p×r共同空間互不相等元素的集合的勢(shì)不等于阿列夫1 又因?yàn)閜×r共同空間的r和p可連續(xù)取值，所以 p×r共同空間互不相等元素的集合的勢(shì)大于阿列夫0 所以，p×r共同空間互不相等元素的集合的勢(shì)大于阿列夫1 即，互不相等r、p的元素個(gè)數(shù)大于阿列夫1 即，互不相等r、p的元素個(gè)數(shù)大于等于阿列夫2 （步驟三） 互不相等r、p的個(gè)數(shù)等于δ(r-p)為零值的個(gè)數(shù)，根據(jù)步驟一，δ(r-p)為零值的個(gè)數(shù)等于δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函數(shù)的個(gè)數(shù) 根據(jù)步驟二，互不相等r、p的元素個(gè)數(shù)大于等于阿列夫2，所以δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函數(shù)的個(gè)數(shù)大于等于阿列夫2 即，兩兩正交的δ(t-r)、δ(t-p)函數(shù)集合的勢(shì)大于等于阿列夫2 即，全體δ(t-r)函數(shù)集合空間的維度大于等于阿列夫2 （步驟四） 因?yàn)椋?br />  即，傅立葉正反變換均不是一對(duì)多的映射 即，傅立葉變換非退化，是非退化的線性變化 （步驟五） 因?yàn)椋?br />  即，基元函數(shù)δ(r-p)和基元函數(shù)exp(ipr)是一一映射 （步驟六） 根據(jù)步驟三和步驟五， 全體exp(ipr)函數(shù)集合空間的維度大于等于阿列夫2 （步驟七） 又因?yàn)椋?br />  （步驟八） 根據(jù)步驟六和步驟七，因?yàn)榭臻g維度不大于空間元素個(gè)數(shù)。 所以， 完備的exp(ipr)函數(shù)集合空間的維度為阿列夫2 證畢。】 [ Last edited by etreeasky on 2015-3-23 at 13:36 ] |
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2樓2015-03-21 17:01:23
3樓2015-03-21 21:27:49
4樓2015-03-22 14:47:58
5樓2015-03-22 15:02:09
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這篇文章措辭的確很不嚴(yán)謹(jǐn)。 一方面因?yàn)槿舭凑諊?yán)格的數(shù)學(xué)定義來(lái)敘述，可能文章會(huì)陷入辭藻汪洋，而不能突出觀點(diǎn)。 另一方面，δ函數(shù)對(duì)數(shù)序家而言本身就是極其不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，讓�?shù)學(xué)界異常窘迫尷尬，數(shù)學(xué)根本解釋不同這是個(gè)什么東西。 因?yàn)檫@個(gè)怪胎函數(shù)僅在0點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)有值、這個(gè)點(diǎn)值是∞、其積分等于1 （積分寬度為0、高度為∞、面積是1）， 數(shù)學(xué)表達(dá)為： 0 × ∞ ＝ 1 。 零乘以無(wú)窮大等于1，放在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)體系中，謬誤在所難免。 因?yàn)檫@相當(dāng)于1/0＝ ∞ ，意味著兩個(gè)“確定的”數(shù)的算術(shù)運(yùn)算將等于“不確定”，這在數(shù)學(xué)邏輯中完全無(wú)法解釋。 與此形成鮮明對(duì)照的是，δ函數(shù)在廣泛科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用取得了巨大成功，甚至可以說(shuō)如果沒(méi)有沖激函數(shù)就沒(méi)有量子力學(xué)、信號(hào)學(xué)、傅立葉變換。 固步自封的數(shù)學(xué)家被迫接受δ函數(shù)，但也許δ函數(shù)始終是數(shù)學(xué)邏輯揮之不去的陰影。 但是，因?yàn)檫@個(gè)陰影，數(shù)學(xué)就從此止步不前了嗎？ |
6樓2015-03-23 09:21:25
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再看一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題： 我們熟悉的三角函數(shù)cos ，它的傅里葉變換函數(shù)存在嗎？ 如果我們以經(jīng)典的微積分（阿列夫1維度）理論來(lái)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)積分不收斂，也就是說(shuō)在實(shí)數(shù)理論中cos的傅里葉變換函數(shù)“不存在” 。 但是，如果基于張量空間的傅里葉變換理論，很容易可以算出cos的傅里葉變換函數(shù)（等于兩個(gè)脈沖函數(shù)δ ）。 cos的傅里葉變換函數(shù)是兩個(gè)脈沖的確定的算式：1/2(δ(a)+δ(-a)) ，這個(gè)簡(jiǎn)單算式明白無(wú)誤的表明了 δ相當(dāng)于普通的確定的數(shù)值（雖然它是無(wú)窮大，它卻可以‘量化’而計(jì)算，這是‘實(shí)無(wú)窮’最貼切的例子）。 這是工程學(xué)、信號(hào)學(xué)、物理學(xué)習(xí)以為常的圖像。稍微調(diào)試一下頻域的脈沖，很容易就能造出時(shí)域的cos余弦波。cos的傅里葉變換函數(shù)圖像明顯可見(jiàn)。，雖然實(shí)數(shù)理論中cos的傅里葉變換函數(shù)“不存在”。 |
7樓2015-03-23 09:22:40
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