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pkusiyuan

銀蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

[資源] First Steps in Differential Geometry Riemannian, Contact, Symplectic

First Steps in Differential Geometry Riemannian, Contact, Symplectic
Contents
1 Basic Objects and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Linear Algebra Essentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Constructing Subspaces I: Spanning Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Linear Independence, Basis, and Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Constructing Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Constructing Subspaces II: Subspaces and Linear
Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 The Dual of a Vector Space, Forms, and Pullbacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 Geometric Structures I: Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 Geometric Structures II: Linear Symplectic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.11 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Advanced Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1 The Derivative and Linear Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 The Tangent Space I: A Geometric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Geometric Sets and Subspaces of Tp(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 The Tangent Space II: An Analytic Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 The Derivative as a Linear Map Between Tangent Spaces . . . . . . . . . . 99
3.6 Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.7 Vector Fields: From Local to Global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.8 Integral Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.9 Diffeomorphisms Generated by Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.10 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ix
x Contents
4 Differential Forms and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1 The Algebra of Alternating Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2 Operations on Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3 Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4 Operations on Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 Integrating Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.6 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.7 The Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5 Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.1 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2 Constructing Metrics; Metrics on Geometric Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3 The Riemannian Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4 Parallelism and Geodesics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.5 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.6 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.7 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6 Contact Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.1 Motivation I: Huygens’ Principle and Contact Elements . . . . . . . . . . . . 272
6.2 Motivation II: Differential Equations and Contact Elements . . . . . . . . 279
6.3 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.4 Contact Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.5 Contact Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.6 Darboux’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.7 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7 Symplectic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.1 Motivation: Hamiltonian Mechanics and Phase Space . . . . . . . . . . . . . . 341
7.2 Basic Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.3 Symplectic Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.4 Symplectic and Hamiltonian Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.5 Geometric Sets in Symplectic Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.6 Hypersurfaces of Contact Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.7 Symplectic Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.8 For Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
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  • 附件 1 : First_Steps_in_Differential_Geometry_Riemannian,_Contact,_Symplectic,_Andrew_McInerney,_2013.pdf
    • 2015-03-23 11:30:53, 3.49 M

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