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sciencejoy

新蟲 (著名寫手)

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[交流] 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射已有1人參與

本文圖顯示不出來，可點(diǎn)此鏈接：https://www.zybuluo.com/joyphys/note/80547

研究寬度為 $b$ 的無限長單縫產(chǎn)生的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。假設(shè)一列平面波垂直入射到單縫上，現(xiàn)在需要計(jì)算透鏡焦平面上的屏上的強(qiáng)度分布�？p可以看做是由大量等間距的點(diǎn)光源組成，并且認(rèn)為，縫上每一點(diǎn)都是一個(gè)惠更斯子波源，它們發(fā)出的子波互相干涉。設(shè)點(diǎn)光源 $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\ldots$ ，并設(shè)相鄰點(diǎn)光源的間隔為 $\Delta$ ，如下圖所示。

如果點(diǎn)光源的數(shù)目為 $n$ ，則
$b=(n-1)\Delta$

現(xiàn)在需要計(jì)算 $n$ 個(gè)點(diǎn)光源在點(diǎn)的總疊加場。點(diǎn) $P$ 是透鏡焦平面上任意一點(diǎn)，此點(diǎn)所能接收的平行光與狹縫法線的夾角為 $\theta$ 。實(shí)際上縫是由連續(xù)分不到點(diǎn)光源組成，所以在最后的結(jié)果表達(dá)式中，將是 $n$ 趨于無窮大， $\Delta$ 趨于零，并保持$n\Delta$趨于 $b$ 。

點(diǎn) $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\ldots$ 到點(diǎn) $P$ 的距離比縫寬 $b$ 是很大的，所以，從這些點(diǎn)達(dá)到點(diǎn) $P$ 的振動(dòng)的振幅幾乎完全相等。但是，雖然它們到點(diǎn) $P$ 的距離只有微小的差別，但是相位差不可忽略。

對(duì)于垂直入射的平面波，在點(diǎn) $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\ldots$ 是同相位的。點(diǎn) $A_2$ 發(fā)出的波與點(diǎn) $A_1$ 發(fā)出的波的光程差為 $\overline{A_2A_2'}$
$\overline{A_2A_2'}=\Delta \sin \theta$
相應(yīng)的相位差
$\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta \sin \theta$
同理，相鄰點(diǎn)發(fā)出的相位差也是 $\phi$ 。如果點(diǎn) $A_1$ 發(fā)出的波在點(diǎn) $P$ 產(chǎn)生的場 $E_0\cos \omega t$ ，因此，各點(diǎn)在點(diǎn) $P$ 產(chǎn)生的合振動(dòng)為
$E=E_0\{\cos \omega t+\cos (\omega t-\phi)+\ldots+\cos [\omega t-(n-1)\phi)]\}$
如下圖可計(jì)算點(diǎn)$P$處的合振動(dòng)

計(jì)算結(jié)果為
$E=\frac{E_0\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\cos[\omega t -(n-1)\phi/2]$

也可以用復(fù)數(shù)法得到上述結(jié)果。
$\widetilde{E}=E_0e^{i\omega t}[1+e^{-i\phi}+\ldots+e^{-i(n-1)\phi}]=E_0e^{i\omega t}\frac{1-e^{-i n \phi}}{1-e^{-i \phi}}$
$=E_0\frac{e^{i n \phi/2}-e^{-i n \phi/2}}{e^{i \phi/2}-e^{-i \phi/2}}\frac{e^{-i n \phi/2}}{e^{-i \phi/2}}e^{i\omega t}$
$=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}e^{\left \{i\left [\omega t-(n-1)\frac{\phi}{2}\right ] \right \}}$

點(diǎn) $P$ 處，合振幅
$E_P=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\approx E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{\phi}{2}}=(n-1)E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{(n-1)\phi}{2}}$
在 $n\rightarrow \infty[latex]和[latex](n-1)\Delta\rightarrow b$ 情況下，
$\frac{(n-1)\phi}{2}=\pi (n-1)\Delta\sin \theta /\lambda \rightarrow \pi b\sin \theta /\lambda$
令 $\beta=\pi b\sin \theta /\lambda$ ，因此有點(diǎn) $P$ 處的振動(dòng)為

$E=(n-1)E_0\frac{\sin \beta}{\beta}\cos(\omega t - \beta)$
光強(qiáng)
$I=I_0\frac{\sin^2 \beta}{\beta^2}$
其中， $I_0$為$\theta=0$ 處的光強(qiáng)。

極小值的位置由下述關(guān)系給出
$\beta=k\pi$
即
$b\sin \theta =k\lambda, k=\pm 1,\pm 2,\ldots$

極大值由以下超越方程的根給出
$\tan \beta=\beta$

夫瑯禾費(fèi)單縫衍射強(qiáng)度分布和極大值點(diǎn)見下圖

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1樓 2015-03-27 15:57:19

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touchhappy

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★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

圖掛了。。。
而且推導(dǎo)的好麻煩的趕腳，其實(shí)phase shift只是一個(gè)bessel function of J1而已，直接從bessel fn的integral form就可以看到

贊一下

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吃貨萌萌噠！！

2樓2015-03-29 15:42:31

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